对于常见MIMO系统，我们知道对于确定性信道，性能通常由速率衡量，如下：
R
=
log
det
(
I
+
H
Q
H
H
)
R = \log\det(I +HQH^H)
R=logdet(I+HQHH)
其中，
H
H
H代表信道，
Q
=
F
F
H
Q = FF^H
Q=FFH，
F
F
F为预编码矩阵。
而对于随机信道，性能往往由遍历速率衡量，即速率的期望如下：
R
=
E
{
log
det
(
I
+
H
Q
H
H
)
}
,
R = E\{\log\det(I + HQH^H)\} ,
R=E{logdet(I+HQHH)},
其中
E
E
E是对
H
H
H取期望。
那么，由于
log
det
(
X
)
\log\det(X)
logdet(X)为凹函数， 因此有：
E
{
log
det
(
I
+
H
Q
H
H
)
}
≤
log
det
(
I
+
E
{
H
Q
H
H
}
)
E\{\log\det(I + HQH^H)\}\le \log\det(I + E\{HQH^H\})
E{logdet(I+HQHH)}≤logdet(I+E{HQHH})
也即琴生不等式。
log
det
(
Z
)
\log\det(Z)
logdet(Z)的凹性证明如下， 根据定义， 其等价于证明
g
(
t
)
=
log
det
(
Z
+
t
V
)
g(t)=\log\det(Z+tV)
g(t)=logdet(Z+tV)对于任意
V
V
V和
Z
Z
Z都是凸的。
而：
g
(
t
)
=
log
det
(
Z
+
t
V
)
=
log
det
(
Z
1
/
2
(
I
+
t
Z
−
1
/
2
V
Z
−
1
/
2
)
Z
1
/
2
)
=
∑
i
=
1
n
log
(
1
+
t
λ
i
)
+
log
det
Z
\begin{aligned} g(t) &=\log \operatorname{det}(Z+t V) \\ &=\log \operatorname{det}\left(Z^{1 / 2}\left(I+t Z^{-1 / 2} V Z^{-1 / 2}\right) Z^{1 / 2}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} \log \left(1+t \lambda_{i}\right)+\log \operatorname{det} Z \end{aligned}
g(t)=logdet(Z+tV)=logdet(Z1/2(I+tZ−1/2VZ−1/2)Z1/2)=i=1∑nlog(1+tλi)+logdetZ
其中
λ
i
\lambda_i
λi为
(
I
+
t
Z
−
1
/
2
V
Z
−
1
/
2
)
\left(I+t Z^{-1 / 2} V Z^{-1 / 2}\right)
(I+tZ−1/2VZ−1/2)的特征值。 而
log
\log
log是凹函数，故
g
(
t
)
g(t)
g(t)显然是关于
t
t
t的凹函数。 第二步等式中，用到了性质
det
(
A
B
)
=
det
(
A
)
det
(
B
)
\det(AB)=\det(A)\det(B)
det(AB)=det(A)det(B)。
