前言
接上篇博客 Joint Tx-Rx Beamforming Design for Multicarrier MIMO Channels: A Unified Framework (1)。
发射机设计
在上文中我们讲到了，对发射机的设计可以表示为如下问题：
min B f 0 ( d ( E ( B ) ) ) s.t. Tr ( B B H ) ≤ P T \begin{array}{ll} \min _{\mathbf{B}} & f_{0}(\mathbf{d}(\mathbf{E}(\mathbf{B}))) \\ \text { s.t. } & \operatorname{Tr}\left(\mathbf{B B}^{H}\right) \leq P_{T} \end{array} minB s.t. f0(d(E(B)))Tr(BBH)≤PT
其中， d ( E ( B ) ) \mathbf{d}(\mathbf{E}(\mathbf{B})) d(E(B))代表由MSE矩阵对角元素所组成的向量。MSE矩阵在接收机采用MMSE接收时，可表示为： E ( B ) = ( I + B H R H B ) − 1 \mathbf{E}(\mathbf{B})=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}\right)^{-1} E(B)=(I+BHRHB)−1。( R H k ≜ H k H R n k − 1 H k \mathbf{R}_{H_{k}} \triangleq \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} RHk≜HkHRnk−1Hk) B \mathbf{B} B的维度为 n t × L n_t\times L nt×L，分别代表发送天线数和数据流数。令 L ˇ ≜ min ( L , rank ( R H ) ) \check{L} \triangleq \min \left(L, \operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{H}\right)\right) Lˇ≜min(L,rank(RH))。
那么，有如下关键定理：
- 若
f
0
f_0
f0为Schur-凹函数，则最优解为：
B = U H , 1 Σ B , 1 \mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} B=UH,1ΣB,1
其中， U H , 1 \mathbf{U}_{H, 1} UH,1为 R H \mathbf{R}_{H} RH的最大的 L ˇ \check{L} Lˇ个特征向量组成的矩阵，维度为 n t × L ˇ n_t\times\check{L} nt×Lˇ。 Σ B , 1 = [ 0 diag ( { σ B , i } ) ] ∈ C L ˇ × L \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}=\left[\mathbf{0} \operatorname{diag}\left(\left\{\sigma_{B, i}\right\}\right)\right] \in \mathbb{C}^{\check{L} \times L} ΣB,1=[0diag({σB,i})]∈CLˇ×L。也就是说， B \mathbf{B} B的最优解由特征向量组成。 - 若
f
0
f_0
f0为Schur-凸函数，则最优解为：
B = U H , 1 Σ B , 1 V B H \mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{V}_{B}^{H} B=UH,1ΣB,1VBH
其中， V B \mathbf{V}_{B} VB是一个酉矩阵，负责令MSE矩阵 E \mathbf{E} E的所有对角元素相等。(这个矩阵可以由引文中的算法确定)
这是一个很重要的结论，揭示了绝大部分常见的通信系统指标的最优解结构。我们先抛砖引玉，接下来我们详述Schur-凸函数的定义。
Schur-凸
对于一个降序排列的向量，即
x
[
1
]
≥
⋯
≥
x
[
n
]
x_{[1]} \geq \cdots \geq x_{[n]}
x[1]≥⋯≥x[n]
那么，如果有：
∑
i
=
1
k
x
[
i
]
≤
∑
i
=
1
k
y
[
i
]
,
1
≤
k
≤
n
−
1
∑
i
=
1
n
x
[
i
]
=
∑
i
=
1
n
y
[
i
]
\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{k} x_{[i]} \leq \sum_{i=1}^{k} y_{[i]}, \quad 1 \leq k \leq n-1 \\ &\sum_{i=1}^{n} x_{[i]}=\sum_{i=1}^{n} y_{[i]} \end{aligned}
i=1∑kx[i]≤i=1∑ky[i],1≤k≤n−1i=1∑nx[i]=i=1∑ny[i]
则记为：
x
≺
y
\mathbf{x} \prec \mathbf{y}
x≺y。这也被称为
y
\mathbf{y}
y majorize
x
\mathbf{x}
x。
那么， 对于函数
ϕ
\phi
ϕ，如果：
x
≺
y
⇒
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
y
)
\mathbf{x} \prec \mathbf{y} \Rightarrow \phi(\mathbf{x}) \leq \phi(\mathbf{y})
x≺y⇒ϕ(x)≤ϕ(y)
则称
ϕ
\phi
ϕ为Schur-凸函数。 反之，当：
x
≺
y
⇒
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
(
y
)
\mathbf{x} \prec \mathbf{y} \Rightarrow \phi(\mathbf{x}) \geq \phi(\mathbf{y})
x≺y⇒ϕ(x)≥ϕ(y)
则称之为Schur-凹函数。
对于majorize， 这里作者给出了几个将要用到的例子:
- 对于
n
×
n
n\times n
n×n共轭对称矩阵
R
\mathbf{R}
R，其对角线元素组成的向量
d
\mathbf{d}
d和特征值组成的向量
λ
\boldsymbol{\lambda}
λ （均降序排列） 有：
d ≺ λ . \mathbf{d} \prec \boldsymbol{\lambda} . d≺λ.
证明： 考察
t
r
(
A
H
R
A
)
\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A})
tr(AHRA)，其中
A
H
A
=
I
\mathbf{A}^H\mathbf{A}=\mathbf{I}
AHA=I，
A
\mathbf{A}
A为
n
×
m
n\times m
n×m维矩阵。这是经典的瑞丽熵形式，因此：
∑
i
=
1
m
λ
i
=
max
A
t
r
(
A
H
R
A
)
\sum_{i=1}^m\lambda_i=\max_\mathbf{A}\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A})
i=1∑mλi=Amaxtr(AHRA)
显然，存在
A
=
[
I
0
]
\mathbf{A}=[\mathbf{I} \quad 0]
A=[I0]，使得
t
r
(
A
H
R
A
)
\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A})
tr(AHRA)恰为
R
\mathbf{R}
R的前
m
m
m个对角元素之和。因此，对于任意
m
m
m，始终有：
∑
i
=
1
m
d
i
≤
∑
i
=
1
m
λ
i
\sum_{i=1}^m d_i \le \sum_{i=1}^m\lambda_i
i=1∑mdi≤i=1∑mλi
又因为
t
r
(
R
)
=
∑
i
=
1
n
d
i
=
∑
i
=
1
n
λ
i
\mathrm{tr}(\mathbf{R})= \sum_{i=1}^n d_i = \sum_{i=1}^n\lambda_i
tr(R)=i=1∑ndi=i=1∑nλi
因此得证。
- 对于降序排列的
n
n
n维向量
x
\mathbf{x}
x，
∑
i
=
1
n
x
i
=
n
\sum_{i=1}^nx_i=n
∑i=1nxi=n，那么显然有：
1 ≺ x \mathbf{1} \prec \mathbf{x} 1≺x
1 \mathbf{1} 1为全 1 1 1向量。这个很容易证明，就不再展开了。
定理的意义
回到一开始介绍的定理，那么：
当
f
0
f_0
f0为Schur-凹时，
B
=
U
H
,
1
Σ
B
,
1
\mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}
B=UH,1ΣB,1
此时不难发现：
B
H
R
H
B
\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}
BHRHB退化为一个对角阵。 因此，MSE矩阵
E
(
B
)
=
(
I
+
B
H
R
H
B
)
−
1
\mathbf{E}(\mathbf{B})=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}\right)^{-1}
E(B)=(I+BHRHB)−1也变成了一个对角阵。 类似地，也可以发现接收机
A
\mathbf{A}
A也将是一个对角阵。 这就说明，对于这一类目标函数，最优的发送策略就是将等效矩阵对角化。此时，接收得到的信号可以写为：
x
^
=
(
I
+
Σ
B
,
1
H
D
H
,
1
Σ
B
,
1
)
−
1
Σ
B
,
1
H
D
H
,
1
1
/
2
(
D
H
,
1
1
/
2
Σ
B
,
1
x
+
w
)
\hat{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{I}+\boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}^{H} \mathbf{D}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}\right)^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}^{H} \mathbf{D}_{H, 1}^{1 / 2}\left(\mathbf{D}_{H, 1}^{1 / 2} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{x}+\mathbf{w}\right)
x^=(I+ΣB,1HDH,1ΣB,1)−1ΣB,1HDH,11/2(DH,11/2ΣB,1x+w)
因此MSE矩阵也可以表示为：
MSE
i
=
{
1
,
1
≤
i
≤
L
0
1
1
+
σ
B
,
(
i
−
L
0
)
2
λ
H
,
(
i
−
L
0
)
,
L
0
<
i
≤
L
\operatorname{MSE}_{i}= \begin{cases}1, & 1 \leq i \leq L_{0} \\ \frac{1}{1+\sigma_{B,\left(i-L_{0}\right)}^{2} \lambda_{H,\left(i-L_{0}\right)}}, & L_{0}
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