前言

这篇博客是对经典paper Joint Tx-Rx Beamforming Design for Multicarrier MIMO Channels: A Unified Framework for Convex Optimization 的摘记，文中通过作者给出的Schur-convex函数的概念，将不同的beamforming指标都与MSE关联，并可以通过统一的框架进行求解。这是一篇内容非常充实且经典的文章。

系统模型与接收机设计

文章考虑的是单用户点对点的宽带场景，其接收天线上的信号模型可以建模为：
y k = H k s k + n k \mathbf{y}_{k}=\mathbf{H}_{k} \mathbf{s}_{k}+\mathbf{n}_{k} yk​=Hk​sk​+nk​
其中 s k = B k x k \mathbf{s}_{k}=\mathbf{B}_{k} \mathbf{x}_{k} sk​=Bk​xk​。经过接收机均衡后，得到:
x ^ k = A k H y k \hat{\mathbf{x}}_{k}=\mathbf{A}_{k}^{H} \mathbf{y}_{k} x^k​=AkH​yk​
考察其MSE矩阵：
E k ( B k , A k ) ≜ E [ ( x ^ k − x k ) ( x ^ k − x k ) H ] = A k H R y k A k + I − A k H H k B k − B k H H k H A k \begin{aligned} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}\right) & \triangleq \mathbb{E}\left[\left(\hat{\mathbf{x}}_{k}-\mathbf{x}_{k}\right)\left(\hat{\mathbf{x}}_{k}-\mathbf{x}_{k}\right)^{H}\right] \\ &=\mathbf{A}_{k}^{H} \mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{A}_{k}+\mathbf{I}-\mathbf{A}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k}-\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{A}_{k} \end{aligned} Ek​(Bk​,Ak​)​≜E[(x^k​−xk​)(x^k​−xk​)H]=AkH​Ryk​​Ak​+I−AkH​Hk​Bk​−BkH​HkH​Ak​​
因此，第 i i i个流所对应的MSE可以写为:
MSE ⁡ k , i ( B k , a k , i ) = [ E k ] i i = a k , i H R y k a k , i + 1 − a k , i H H k b k , i − b k , i H H k H a k , i \begin{aligned} \operatorname{MSE}_{k, i}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{a}_{k, i}\right) =\left[\mathbf{E}_{k}\right]_{i i} =\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{a}_{k, i}+1-\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}-\mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{a}_{k, i} \end{aligned} MSEk,i​(Bk​,ak,i​)=[Ek​]ii​=ak,iH​Ryk​​ak,i​+1−ak,iH​Hk​bk,i​−bk,iH​HkH​ak,i​​
这里我们以最小化所有 MSE ⁡ k , i \operatorname{MSE}_{k, i} MSEk,i​为目标进行接收机设计。需要注意的是，在后文中作者将说明，其他的常见指标，如SNR，BER等，都可以视为是MSE的函数，因此以最小化MSE为目标进行的接收机设计是没有问题的。
另一方面，注意到MSE是接收矩阵 A \mathbf{A} A的凸函数，因此，在给定 B \mathbf{B} B时， A \mathbf{A} A是可以求得最优解的。 因此，我们可以求取 A \mathbf{A} A在给定 B \mathbf{B} B时的最优解，再将其作为 B \mathbf{B} B的函数代回，将原问题转化为 B \mathbf{B} B的单变量问题。这样做是不会损失最优性的，因为 A \mathbf{A} A取到的是闭式解。

因此，我们通过求解如下优化问题来获得 A \mathbf{A} A的最优解：
min ⁡ A k ∗ c H E k ( B k , A k ) c , ∀ c \min _{\mathbf{A}_{k}^{*}} \mathbf{c}^{H} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}\right) \mathbf{c}, \quad \forall \mathbf{c} Ak∗​min​cHEk​(Bk​,Ak​)c,∀c
注意，这里 c \mathbf{c} c为 canonical base， 不同的canonical base对应 c H E k ( B k , A k ) c , ∀ c \mathbf{c}^{H} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}\right) \mathbf{c}, \quad \forall \mathbf{c} cHEk​(Bk​,Ak​)c,∀c为 E k \mathbf{E}_k Ek​的不同对角元素。我们要使得所有对角元素均最小化。 对目标函数求梯度并置为0，得到：
∇ A k ∗ Tr ⁡ ( E k c c H ) = R y k A k c c H − H k B k c c H = 0 , ∀ c \nabla_{\mathbf{A}_{k}^{*}} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{E}_{k} \mathbf{c c}^{H}\right)=\mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{A}_{k} \mathbf{c c}{ }^{H}-\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{c c}^{H}=\mathbf{0}, \quad \forall \mathbf{c} ∇Ak∗​​Tr(Ek​ccH)=Ryk​​Ak​ccH−Hk​Bk​ccH=0,∀c
其中 R y k ≜ E [ y k y k H ] = H k B k B k H H k H + R n k \mathbf{R}_{y_{k}} \triangleq \mathbb{E}\left[\mathbf{y}_{k} \mathbf{y}_{k}^{H}\right]=\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}} Ryk​​≜E[yk​ykH​]=Hk​Bk​BkH​HkH​+Rnk​​。 R n k \mathbf{R}_{n_{k}} Rnk​​为噪声的协方差矩阵。 由于要求对所有 c \mathbf{c} c均成立，那么就必须有：
R y k A k = H k B k \mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{A}_{k} = \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} Ryk​​Ak​=Hk​Bk​
因此，
A k opt  = ( H k B k B k H H k H + R n k ) − 1 H k B k \mathbf{A}_{k}^{\text {opt }}=\left(\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} Akopt ​=(Hk​Bk​BkH​HkH​+Rnk​​)−1Hk​Bk​
这其实就是我们所非常熟知的维纳滤波器。值得注意的是，它不仅仅最小化了所有流的MSE之和，事实上它其实将每一流各自的MSE值均最小化了。

发射机设计问题

此时，将求得的维纳滤波器结果代入MSE中，得到:
E k ( B k ) ≜ E k ( B k , A k o p t ) = I − B k H H k H ( H k B k B k H H k H + R n k ) − 1 H k B k = ( I + B k H R H k B k ) − 1 \begin{aligned} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}\right) & \triangleq \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}^{\mathrm{opt}}\right) \\ &=\mathbf{I}-\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}\left(\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \\ &=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{R}_{H_{k}} \mathbf{B}_{k}\right)^{-1} \end{aligned} Ek​(Bk​)​≜Ek​(Bk​,Akopt​)=I−BkH​HkH​(Hk​Bk​BkH​HkH​+Rnk​​)−1Hk​Bk​=(I+BkH​RHk​​Bk​)−1​
其中， R H k ≜ H k H R n k − 1 H k \mathbf{R}_{H_{k}} \triangleq \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} RHk​​≜HkH​Rnk​−1​Hk​。注意到，根据逆矩阵对角元素的求解，我们有:
MSE ⁡ k , i = [ ( I + B k H H k H R n k − 1 H k B k ) − 1 ] i i = 1 1 + b k , i H H k H R k , i − 1 H k b k , i \begin{aligned} \operatorname{MSE}_{k, i} &=\left[\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k}\right)^{-1}\right]_{i i} \\ &=\frac{1}{1+\mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}} \end{aligned} MSEk,i​​=[(I+BkH​HkH​Rnk​−1​Hk​Bk​)−1]ii​=1+bk,iH​HkH​Rk,i−1​Hk​bk,i​1​​
这一推导过程放在了上一篇博客置换矩阵的应用：逆矩阵的对角线元素求法 之中。另一方面我们注意到，第 i i i个流对应的SINR可以表示为：
SINR ⁡ k , i ≜ ∣ a k , i H H k b k , i ∣ 2 a k , i H R k , i a k , i ≤ b k , i H H k H R k , i − 1 H k b k , i \operatorname{SINR}_{k, i} \triangleq \frac{\left|\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}\right|^{2}}{\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{R}_{k, i} \mathbf{a}_{k, i}} \leq \mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} SINRk,i​≜ak,iH​Rk,i​ak,i​∣∣∣​ak,iH​Hk​bk,i​∣∣∣​2​≤bk,iH​HkH​Rk,i−1​Hk​bk,i​
其中 R k , i ≜ H k B k B k H H k H + R n k − H k b k , i b k , i H H k H \mathbf{R}_{k, i} \triangleq \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}-\mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} \mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} Rk,i​≜Hk​Bk​BkH​HkH​+Rnk​​−Hk​bk,i​bk,iH​HkH​
代表干扰噪声项。 不等号源自于柯西施瓦茨不等式，当 a k , i ∝ R k , i − 1 H k b k , i \mathbf{a}_{k, i} \propto \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} ak,i​∝Rk,i−1​Hk​bk,i​取到等号。 此时注意到，
R k , i ≜ R y k − H k b k , i b k , i H H k H \mathbf{R}_{k, i} \triangleq \mathbf{R}_{y_{k}}-\mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} \mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} Rk,i​≜Ryk​​−Hk​bk,i​bk,iH​HkH​
利用求逆公式，
( A + x y H ) − 1 = A − 1 − A − 1 x y H A − 1 1 + y H A − 1 x \left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathrm{H}}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\frac{\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}^{-1}}{1+\boldsymbol{y}^{\mathrm{H}} A^{-1} \boldsymbol{x}} (A+xyH)−1=A−1−1+yHA−1xA−1xyHA−1​
我们不难得到，当 B \mathbf{B} B给定时：
R k , i − 1 H k b k , i ∝ R y k − 1 H k b k , i \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} \propto\mathbf{R}_{y_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} Rk,i−1​Hk​bk,i​∝Ryk​−1​Hk​bk,i​
而后者则正是维纳滤波器！ 这也就是说， 以最大化SINR为目标的接收机设计，其结果恰对应与以MMSE为目标的接收机设计！

同时注意到，此时SINR取到的最大值，恰好满足:
SINR ⁡ k , i = 1 MSE ⁡ k , i − 1 \operatorname{SINR}_{k, i}=\frac{1}{\operatorname{MSE}_{k, i}}-1 SINRk,i​=MSEk,i​1​−1
这也正是为什么作者一直强调，对于不同的指标，均可看成是MSE的函数的原因。例如，误码率可以表示为：
P e ( S I N R ) = α Q ( β S I N R ) P_{e}(\mathrm{SINR})=\alpha \mathcal{Q}(\sqrt{\beta \mathrm{SINR}}) Pe​(SINR)=αQ(βSINR ​)
而SINR是MSE的函数，那么误码率自然也是了。

在下一篇中，我们将讨论，对不同的MSE的函数 (对应于SINR， 误码率等)， 如何进行对发射机 B \mathbf{B} B的优化。

注：对于MIMO系统，速率通过对这个MIMO信道使用 l o g d e t ( ) logdet() logdet()求取， 和通过将所有流视为多个SISO信道，将每个信道的速率求和。 其结果会一致吗？