在03节，矩阵乘法是沿着解方程这个思路来理解的，其主要讨论的是 E E E和 A A A间的矩阵乘法，矩阵乘法可不局限于消元矩阵 E E E与系数矩阵 A A A之间的运算，要计算矩阵乘积，还有以下求解方法：
一、矩阵乘法的四种理解角度
1.1 逐元素（选一行选一列，对应相乘求和）
请注意！！是行乘列，不是列乘行。逐元素是按照"行向量
⋅
\cdot
⋅列向量"点乘的方式获取各个位置的元素，如结果矩阵
C
C
C元素
c
i
j
c_{ij}
cij可以按照这样的方式计算：
有矩阵
A
A
A和
B
B
B:
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
p
a
21
a
22
⋯
a
2
p
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
p
]
B
=
[
b
11
b
12
⋯
b
1
m
b
21
b
22
⋯
b
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
b
p
1
b
p
2
⋯
b
p
m
]
A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1p}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{np} \end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1m}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{p1}&b_{p2}&\cdots&b_{pm} \end{bmatrix}
A=
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1pa2p⋮anp
B=
b11b21⋮bp1b12b22⋮bp2⋯⋯⋱⋯b1mb2m⋮bpm
取
A
A
A的第
i
i
i行和
B
B
B的第
j
j
j列：
A
i
∗
=
[
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
p
]
B
∗
j
=
[
b
1
j
b
2
j
⋮
b
p
j
]
A_{i*}=\begin{bmatrix}a_{i1} a_{i2}\cdots a_{ip}\end{bmatrix}\quad B_{*j}=\begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{pj} \end{bmatrix}
Ai∗=[ai1ai2⋯aip]B∗j=
b1jb2j⋮bpj
将行向量和列向量进行点乘运算，得到一个数字
c
i
j
c_{ij}
cij：
c
i
j
=
A
i
∗
⋅
B
∗
j
=
∑
k
=
1
p
a
i
k
b
k
j
c_{ij}=A_{i*}\cdot B_{*j}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}
cij=Ai∗⋅B∗j=k=1∑paikbkj
其中
A
i
∗
A_{i*}
Ai∗表示A第
i
i
i行，是一个行向量；
B
∗
j
B_{*j}
B∗j则表示第
j
j
j列，是一个列向量。点乘的结果是一个数，即
c
i
j
c_{ij}
cij。！！矩阵乘法就是行向量乘以列向量！！列乘以行得到的是一个大面积矩阵。
1.2 列向量（左侧看成列向量，右侧一列是看成列向量的组合系数）
A B AB AB乘积的每一列逐列给出。 C = A B C=AB C=AB，C的每一列的结果由以下方程给出：
- 左矩阵看成很多个列向量
- 右矩阵看成很多个列向量组合系数
- 按系数组合列向量对应结果的一列
为了方便说明，举个简单的例子：
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
B
=
[
10
11
12
13
14
15
16
17
18
]
A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix} 10&11&12\\ 13&14&15\\ 16&17&18\\ \end{bmatrix}
A=
147258369
B=
101316111417121518
结果第一列：
C
∗
1
=
10
[
1
4
7
]
+
13
[
2
5
8
]
+
16
[
3
6
9
]
=
[
87
201
318
]
C_{*1}=10 \begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix} +13\begin{bmatrix} 2\\5\\8 \end{bmatrix}+16\begin{bmatrix} 3\\6\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}87\\201\\318\end{bmatrix}
C∗1=10
147
+13
258
+16
369
=
87201318
结果第二列：
C
∗
2
=
11
[
1
4
7
]
+
14
[
2
5
8
]
+
17
[
3
6
9
]
=
[
90
216
342
]
C_{*2}=11 \begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix} +14\begin{bmatrix} 2\\5\\8 \end{bmatrix}+17\begin{bmatrix} 3\\6\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}90\\216\\342\end{bmatrix}
C∗2=11
147
+14
258
+17
369
=
90216342
结果第三列：
C
∗
3
=
12
[
1
4
7
]
+
15
[
2
5
8
]
+
18
[
3
6
9
]
=
[
96
231
366
]
C_{*3}=12 \begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix} +15\begin{bmatrix} 2\\5\\8 \end{bmatrix}+18\begin{bmatrix} 3\\6\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}96\\231\\366\end{bmatrix}
C∗3=12
147
+15
258
+18
369
=
96231366
组合起来：
A
B
=
C
=
[
C
∗
1
C
∗
2
C
∗
3
]
=
[
84
90
96
201
216
231
318
342
366
]
AB=C=\begin{bmatrix}C_{*1}&C_{*2}&C_{*3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 84&90&96\\ 201&216&231\\ 318&342&366 \end{bmatrix}
AB=C=[C∗1C∗2C∗3]=
842013189021634296231366
1.3 行向量（右侧看成行向量，左侧每行看成是行的线性组合系数）
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
B
=
[
10
11
12
13
14
15
16
17
18
]
A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix} 10&11&12\\ 13&14&15\\ 16&17&18\\ \end{bmatrix}
A=
147258369
B=
101316111417121518
A
B
AB
AB乘积的每一列逐行给出。
C
=
A
B
C=AB
C=AB，C的每一列的结果由以下方程给出：
- 右矩阵看成很多个行向量
- 左矩阵看成很多个行向量组合系数
- 按系数组合行向量对应结果的一行
还是（1.2）的
A
A
A
B
B
B为例：
第一行：
C
1
∗
=
1
[
10
11
12
]
+
2
[
13
14
15
]
+
3
[
16
17
18
]
=
[
84
90
96
]
C_{1*}=1\begin{bmatrix}10&11&12\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}13&14&15\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}16&17&18\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}84&90&96\end{bmatrix}
C1∗=1[101112]+2[131415]+3[161718]=[849096]
第二行：
C
2
∗
=
4
[
10
11
12
]
+
5
[
13
14
15
]
+
6
[
16
17
18
]
=
[
201
209
231
]
C_{2*}=4\begin{bmatrix}10&11&12\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}13&14&15\end{bmatrix}+6\begin{bmatrix}16&17&18\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}201&209&231\end{bmatrix}
C2∗=4[101112]+5[131415]+6[161718]=[201209231]
第三行：
C
3
∗
=
7
[
10
11
12
]
+
8
[
13
14
15
]
+
9
[
16
17
18
]
=
[
318
342
366
]
C_{3*}=7\begin{bmatrix}10&11&12\end{bmatrix}+8\begin{bmatrix}13&14&15\end{bmatrix}+9\begin{bmatrix}16&17&18\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}318&342&366\end{bmatrix}
C3∗=7[101112]+8[131415]+9[161718]=[318342366]
组合起来：
A
B
=
C
=
[
C
1
∗
C
2
∗
C
3
∗
]
=
[
84
90
96
201
216
231
318
342
366
]
AB=C=\begin{bmatrix}C_{1*}\\C_{2*}\\C_{3*}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 84&90&96\\ 201&216&231\\ 318&342&366 \end{bmatrix}
AB=C=
C1∗C2∗C3∗
=
842013189021634296231366
1.4 列乘行（列矩阵和行矩阵相乘）
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
B
=
[
10
11
12
13
14
15
16
17
18
]
A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix} 10&11&12\\ 13&14&15\\ 16&17&18\\ \end{bmatrix}
A=
147258369
B=
101316111417121518
请注意！！是列乘行，不是行乘列。列乘行矩阵加法给出。还是以(2.1)的
A
A
A
B
B
B为例。
矩阵1：
M
1
=
[
1
4
7
]
[
10
11
12
]
=
[
10
11
12
40
44
48
70
77
84
]
M1=\begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10&11&12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10&11&12\\ 40&44&48\\ 70&77&84\end{bmatrix}
M1=
147
[101112]=
104070114477124884
矩阵2：
M
2
=
[
2
5
6
]
[
13
14
15
]
=
[
26
28
30
65
70
75
78
84
90
]
M2=\begin{bmatrix}2\\5\\6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}13&14&15\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 26&28&30\\ 65&70&75\\ 78&84&90\end{bmatrix}
M2=
256
[131415]=
266578287084307590
矩阵3：
M
3
=
[
3
6
9
]
[
16
17
18
]
=
[
48
51
54
96
102
108
144
153
162
]
M3=\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}16&17&18\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 48&51&54\\ 96&102&108\\ 144&153&162\end{bmatrix}
M3=
369
[161718]=
48961445110215354108162
组合起来：
A
B
=
C
=
M
1
+
M
2
+
M
3
=
[
84
90
96
201
216
231
318
342
366
]
AB=C=M1+M2+M3=\begin{bmatrix} 84&90&96\\ 201&216&231\\ 318&342&366 \end{bmatrix}
AB=C=M1+M2+M3=
842013189021634296231366
1.5 分块矩阵
为了计算方便，可将矩阵分为多份，再进行矩阵乘法。
[
A
11
A
12
A
21
A
22
]
[
B
11
B
12
B
21
B
22
]
=
[
A
11
B
11
+
A
12
B
21
A
11
B
12
+
A
12
B
22
A
21
B
22
+
A
11
B
21
A
21
B
12
+
A
22
B
22
]
\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{22}+A_{11}B_{21}&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{bmatrix}
[A11A21A12A22][B11B21B12B22]=[A11B11+A12B21A21B22+A11B21A11B12+A12B22A21B12+A22B22]划分规则：能进行矩阵乘法。
二、方阵的逆
2.1 定义
方阵
A
A
A可能有逆，也可能没逆。如果
A
A
A是有逆的，那么必有：
A
−
1
A
=
I
=
A
A
−
1
A^{-1}A=I=AA^{-1}
A−1A=I=AA−1对于非方阵，那么左逆不等于右逆，不符合行列要求。
2.2 可逆条件
以
2
×
2
2\times2
2×2矩阵
A
A
A为例子，如：
A
=
[
1
2
2
6
]
A=\begin{bmatrix}1&2\\2&6\end{bmatrix}
A=[1226]
如果矩阵是可逆的，那么必然能够找到一个矩阵对其进行变换，得到一个单位矩阵：
[
1
3
2
6
]
[
∗
∗
∗
∗
]
=
[
1
0
0
1
]
\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}*&*\\*&*\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}
[1236][∗∗∗∗]=[1001]这时候，从列向量的角度容易知道，这个矩阵不存在，因为列向量的线性组合是共线的，其线性组合永远都在一条直线上。
可逆等价定义：仅有零向量
X
X
X使得
A
X
=
0
AX=0
AX=0成立，还是以上面作为例子：
A
X
=
[
1
3
2
6
]
[
∗
∗
]
=
[
0
0
]
AX=\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}*\\*\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}
AX=[1236][∗∗]=[00]
直观上讲，因为
X
=
[
0
0
]
X=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}
X=[00]始终成立，不可能要求所有的矩阵都是可逆的，所以作为条件它是应该一个非零向量；矩阵比较简单，容易找到两个向量
X
X
X使等式成立：
X
=
[
3
−
1
]
X
=
[
−
3
1
]
X=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}\quad X=\begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}
X=[3−1]X=[−31]理论上说，假设我们的
X
X
X是一个非零向量，且存在可逆矩阵，那么:
A
−
1
A
X
=
I
X
=
X
=
0
A^{-1}AX=IX=X=0
A−1AX=IX=X=0与假设矛盾，所以，
X
X
X必须是一个零向量。
2.2 逆矩阵求法：Gause-Jordan
一个方阵，如果具有可逆矩阵，那么其满足:
A
A
−
1
=
I
AA^{-1}=I
AA−1=I还是简单的
2
×
2
2\times2
2×2矩阵
A
=
[
1
3
2
7
]
A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}
A=[1237]，求其可逆矩阵
A
−
1
=
[
a
c
b
d
]
A^{-1}=\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}
A−1=[abcd]。
[
1
3
2
7
]
[
a
c
b
d
]
=
[
1
0
0
1
]
\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}
[1237][abcd]=[1001]按照列向量的观点看待上述问题，上述的矩阵等价于求解两个线性方程：
[
1
3
2
7
]
[
a
b
]
=
[
1
0
]
[
1
3
2
7
]
[
c
d
]
=
[
0
1
]
\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
[1237][ab]=[10][1237][cd]=[01]Jordan观察到，上述两线性方程可以放在一起来解，增广矩阵的“增”就是系数矩阵
A
A
A增加了两列。
[
1
3
1
0
2
7
0
1
]
→
[
1
3
1
0
0
1
−
2
1
]
\begin{bmatrix}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{bmatrix}
[12371001]→[10311−201]进行到这一步，高斯就停止进行变换了，但是Jordan再次继续向上消元，使其系数矩阵
A
A
A变成单位矩阵
I
I
I：
[
1
3
1
0
0
1
−
2
1
]
→
[
1
0
1
0
0
1
7
−
3
]
\begin{bmatrix}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&7&-3\end{bmatrix}
[10311−201]→[1001170−3]好家伙，Jordan将矩阵
[
A
∣
I
]
=
[
I
∣
A
−
1
]
[A|I]=[I|A^{-1}]
[A∣I]=[I∣A−1]，这是为什么？我们在消元的过程中，相当于对
[
A
∣
I
]
[A|I]
[A∣I]做行变换
E
E
E:
E
[
A
∣
I
]
=
[
E
A
E
I
]
=
[
E
A
E
]
=
[
I
?
]
E[A|I]=[EA\quad EI]=[EA\quad E]=[I \quad?]
E[A∣I]=[EAEI]=[EAE]=[I?]
因为消元过程使得
E
A
=
I
EA=I
EA=I，所以，
E
=
A
−
1
E=A^{-1}
E=A−1，容易得到
?
?
?处就是系数矩阵
A
A
A的逆。
小结
本小结首先从四个角度理解了矩阵乘法运算；然后介绍了矩阵可逆的定义和条件，最后从行向量的观点引出了Gause-Jordan方法求逆矩阵的方法。
