05转置和向量空间

进入了向量空间才算开始了线性代数的大门。几个重要的概念：

• 列空间包含所有列向量的线性组合，记作 C ( A ) C(A) C(A)；
• 当且仅当 b b b在 A A A的列空间时， A X = b AX=b AX=b才有解；

一个 m × n m\times n m×n的系数矩阵 A A A的列空间有可能属于和向量分量一样多的空间 R m R^m Rm，也有可能只是子空间。

一、转置矩阵Permutation

转置矩阵适用于执行行交换的。回忆一下我们上一节讲到的 A = L U A=LU A=LU分解，一个矩阵 L U LU LU的 L L L的特征非常明显，它是进行的行变换的直观矩阵： A = L U = [ 1 0 0 0 X 1 0 0 X X 1 0 X X X 1 ] [ 1 X X X 0 1 X X 0 0 1 X 0 0 0 1 ] A=LU=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ X&1&0&0\\ X&X&1&0\\ X&X&X&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&X&X&X\\ 0&1&X&X\\ 0&0&1&X\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} A=LU= ​1XXX​01XX​001X​0001​ ​ ​1000​X100​XX10​XXX1​ ​如果考虑行交换，那么一个可逆矩阵的 A A A更广泛的消元过程应该表示为： P A = L U PA=LU PA=LU，Permutation矩阵的性质：

• P P P一定可逆的
• 逆等于转置

性质1，因为转置矩阵就是单位矩阵通过不同组合的行交换组成的，当然也可以乘以一个相反的行交换换回单位矩阵。性质2，举个直观的例子，假设一个转置矩阵

P = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] P T = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] P=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\quad P^T=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} P= ​1000​0010​0100​0001​ ​PT= ​1000​0010​0100​0001​ ​它是一个单位矩阵第二和第三行的交换。 P P T = I PP^T=I PPT=I必然成立！

转置矩阵的数学表达： ( A T ) i j = A j i (A^T)_{ij}=A_{ji} (AT)ij​=Aji​ 对称矩阵(Symmetrix)的定义： A T = A A^T=A AT=A数字是最直观的，一个对称阵 A A A应该是： A = [ 3 1 7 1 2 9 7 9 4 ] A=\begin{bmatrix}3&1&7\\1&2&9\\7&9&4\end{bmatrix} A= ​317​129​794​ ​一个对称矩阵具有转置不变性。我们可以如何获取一个转置矩阵？答案是 R R T RR^T RRT!矩阵总是可以乘以其转置，举个例子： [ 1 3 2 3 4 1 ] [ 1 2 4 3 3 1 ] = [ 10 11 7 11 13 11 7 11 17 ] \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}10&11&7\\11&13&11\\7&11&17\end{bmatrix} ​124​331​ ​[13​23​41​]= ​10117​111311​71117​ ​这个是显然的，因为 ( R R T ) T = ( R T ) T R T = R R T (RR^T)^T=(R^T)^TR^T=RR^T (RRT)T=(RT)TRT=RRT。转置等于其本身，符合转置矩阵的定义。

二、向量空间和子空间

定义： R n R^n Rn空间是所有 n n n个分量列向量的组合。 R 5 R^5 R5表示的是五个分量的列向量集合，如 [ 3 4 8 1 6 ] [ 3 4 − 1 3 2 ] \begin{bmatrix} 3\\4\\8\\1\\6 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}3\\4\\-1\\3\\2 \end{bmatrix} ​34816​ ​ ​34−132​ ​ 如果你能枚举所有的这样的向量，那么这个集合组成的就是 R n R^n Rn空间。或者你也可以这么理解，空间的一个点所能表达的最小坐标数。

2.1 向量空间

向量空间是向量集合，在向量集合满足一定规则的向量称为子空间。

子空间是一系列满足一定运算规则构成的所有向量集，这个规则是满足以下条件，

• 任取向量空间中的两个向量 v v v和 w w w， v + w v+w v+w仍然在这个空间;
• 任取一个标量 c c c， c v cv cv属于这个空间；

换句话说，所有向量线性组合都是在子空间。

R 2 R^2 R2就是一个空间向量，其向量集合是所有二维实向量，对于其中的如： [ 3 2 ] [ 0 0 ] [ π e ] \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}\pi\\e\end{bmatrix} [32​][00​][πe​]无论我们这些二维实向量做何线性运算，其结果仍然在空间 R 2 R^2 R2内。

R 2 R^2 R2空间就是平面空间，随意选取平面上向量集合，如截取 R 2 R^2 R2平面一部分：第一象限，这个平面是否是空间向量呢？不是的，画个图看看： w = u − v w=u-v w=u−v显然已经不在指定的第一象限，不符合向量空间的定义。

2.2 子空间

前面在 R 2 R^2 R2空间划取第一象限不是一个向量空间。那么在一个向量空间中任意划取一部分，是否有可能组成一个向量空间？答案是肯定的！！如一个过原点的直线空间！ 我们随便在蓝色的空间任意选取一个点组成向量，无论我们如何线性组合它仍然属于这个蓝色区域，符合向量空间的定义！能够再举一个例子吗？当然可以，如零向量空间，不过逆只能取到一个向量，零向量的线性组合仍然是零向量。ok！至此，我们找到了 R 2 R^2 R2所有的三种子空间（线面）都被我们找到了！

对于 R 3 R^3 R3也是一个向量空间，三个实数构成一个向量，向量间的线性运算并不会离开 R 3 R^3 R3空间，如： [ 3 2 1 ] [ 0 0 0 ] [ π e 4 ] \begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix}\pi\\e\\4\end{bmatrix} ​321​ ​ ​000​ ​ ​πe4​ ​ 同样的我们也对 R 3 R^3 R3的子空间，进行查找。第一个，过原点的平面： 在这个平面上任取向量进行线性组合，其结果仍然再这个平面上，是一个子空间。 过原点的直线： 显然，同理，它是一个子空间。最后，原点，也是一个子空间。

为什么 R 2 R^2 R2 R 3 R^3 R3的子空间都包含零向量？对于更高维度的子空间是否也包含零向量？原因很简单，如果你是一个向量空间，任取一个向量 v v v，对于任意实数必须有： k v kv kv成立，如果我们取 k = 0 k=0 k=0，他就是一个零向量！这也说明，如果一个空间连零向量都没有那他一定不是向量空间。

2.3 矩阵的列空间

矩阵的列向量的所有的线性组合必然在某个向量空间中，我们将列向量的线性组合的所有可能称为矩阵的列空间。举个例子: [ 1 3 2 3 4 1 ] \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix} ​124​331​ ​这个矩阵构成的 矩阵的列空间是一个过原点的 R 3 R^3 R3子空间：平面。当然如果列向量是一个共线向量，那么子空间则是过原点的 R 3 R^3 R3子空间：直线。我们矩阵列构成的空间称为矩阵到列空间，记作 C ( A ) C(A) C(A)。

2.4 向量空间具体的定义

设 V V V是一个非空集合， R \mathbb{R} R为实数域。如果在 V V V中定义了一个加法，即对于任意两个元素 α , β ∈ V \alpha,\beta\in V α,β∈V，总有唯一的一个元素 γ ∈ V \gamma \in V γ∈V与之对应，称为 α \alpha α与 β \beta β的和，记为 γ = α + β \gamma =\alpha+\beta γ=α+β；在 V V V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数 λ ∈ R \lambda \in \mathbb{R} λ∈R与任一元素 α ∈ V \alpha\in V α∈V，总有唯一的一个元素 δ ∈ V \delta\in V δ∈V与之对应，称为 λ \lambda λ与 α \alpha α的数量乘积，记作： δ = λ α \delta=\lambda\alpha δ=λα，并且这两中运算满足以下八大运算规律（设 α \alpha α、 β \beta β、 γ \gamma γ ∈ \in ∈ V V V， λ \lambda λ 、 μ \mu μ ∈ \in ∈ R \mathbb{R} R）：

• α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α
• ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
• 在 V V V中存在零元素 0 0 0，对任何 α ∈ V \alpha\in V α∈V，都有 α + 0 = α \alpha+0=\alpha α+0=α

！！！向量空间必须包含零空间