向量空间(Vector space)是满足一定运算规则的向量集合，这个运算规则是对加法和数乘封闭，即结果仍然属于原空间。子空间(subspace)是在某个空间中选取的部分向量组成的集合，在新集合中，仍然满足其是一个向量空间。
一、子空间的交并运算我们以 R 3 R^3 R3空间为例子说明子空间的运算规律：
- 子空间之间的并集是否属于子空间
- 子空间之间的交集是否属于子空间
在这里我们判断是否不属于子空间的方法是：举例法。
子空间的交并运算的结果不为空（至少有零向量），结果也是一些向量集合，至于这些集合是否为子空间，得看具体情况。
举个简单的例子，
R
3
R^3
R3空间两个“平面”子空间的并集。
子空间的并集是两个平面所有向量的集合，如果我们取不与交线平行的向量（分属两个平面）进行线性组合，其结果必定是指向他们向量集合外的，因此我们认为子空间的并集不形成新的子空间。子空间的交集则是一条直线，直线上任意向量结果都是该直线，这个直线又是经过原点的直线，所以交集是子空间。经过简单的直观上的理解我们有以下结论[1]：
- 子空间的并集不一定是子空间
- 子空间的交集一定是子空间
列向量维数决定其最大子空间。向量维数等于 k k k，无论如何组合都不可能产生一个 > k \gt k >k的空间，假如恰好等于 k k k，也不一定是最大子空间，因为向量不是所有的都对“扩充子空间”产生有效作用。
假设我们有一个矩阵 A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix} A= 123411112345
因为列向量是有四个元素，因此列空间所处坐标系应该是四维的，即其线性组合在一个 R 4 R^4 R4空间中。列空间不仅包含“扩展”他们的列向量，还包含所有的列向量线性组合。那么这三个列向量线性组合是否是“最大”的 R 4 R^4 R4，又或者是其子空间，如果是子空间，那么子空间的大小是多大？
四维空间对于我们来说有点抽象，如果我们把问题转换成三维空间，用两个三维向量是否能够扩展到整个笛卡尔空间？显然是不行的，因为两个三维向量无论如何组合，都会属于一个平面，还有非常多的空间没法覆盖，所以说，就从类比的角度来看，上述的 A A A矩阵大概率是不能覆盖所有的 R 4 R^4 R4空间，只能是更小的 R 3 R^3 R3空间。
2.2 A x = b Ax=b Ax=b的空间解释设系数矩阵 A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix} A= 123411112345 其组合系数和结果向量分别为 x = [ x 1 x 2 x 3 ] b = [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\quad b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix} x= x1x2x3 b= b1b2b3b4
我们知道列空间是一个向量空间，是系数矩阵中列向量构成的空间。下面我们就从列空间的角度来解释 A x = b Ax=b Ax=b
- 对于不同的 b b b，方程 A x = b Ax=b Ax=b是否始终有解？答案是：否。三个四维列向量组成的空间不能表示所有的四维向量，就如同三维空间两个三维向量只能表示一个平面一样。四维空间：“你至少要用和我维数一样多的四维向量才能表示我”。
- 什么样的 b b b，方程 A x = b Ax=b Ax=b才能有解？答案：如果 b b b恰好在列向量扩成的列空间内。
- 上述系数矩阵 A A A能否去掉一列，仍然能够表示原来的列空间？答：去掉那些多余的列向量即可，什么叫做“多余的”，也就是向量去掉后，经过内部协作能够替代掉的向量，如本例中的第一列和第二列相加后能够完全替代第三列的向量。
列向量可以形成列空间，对于结果向量为零向量的方程其解组成的空间是否是子空间呢？还是前面提到的方程为例，我们取： b = [ 0 0 0 0 ] b=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} b= 0000 方程的解是一个三维的系数向量 x = [ x 1 x 2 x 3 ] x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} x= x1x2x3 ，这些解组成的空间就是零空间，零空间是属于 R 3 R^3 R3的。 A x = b [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 0 ] Ax=b\quad\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} Ax=b 123411112345 x1x2x3 = 0000
上述方程的系数可以是什么？
- 零向量： x = [ 0 0 0 ] x=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} x= 000
- 一个解。 x = [ 1 1 − 1 ] x=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix} x= 11−1
- 又一解。 x = [ 2 2 − 2 ] x=\begin{bmatrix}2\\2\\-2\end{bmatrix} x= 22−2
- 再一个解。 x = [ 3 3 − 3 ] x=\begin{bmatrix}3\\3\\-3\end{bmatrix} x= 33−3
慢着，似乎这个解是无穷多个的，幸好我们可以用一个式子来表述：
- 所有解通用表示。 x = c [ 1 1 − 1 ] c ∈ R x=c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\quad c\in R x=c 11−1 c∈R
从向量空间的角度来看，他就是一个过点 ( 1 , 1 , − 1 ) (1,1,-1) (1,1,−1)直线，显然是一个子空间。零空间是子空间是一个巧合吗？
3.2 证明零空间是子空间- 加法封闭；在零空间任取两个向量 v v v和 w w w，即方程的系数两组组合系数，有： A v = 0 Av=0 Av=0 A w = 0 Aw=0 Aw=0，根据矩阵的加法运算，有 A ( v + w ) = 0 A(v+w)=0 A(v+w)=0成立，加法封闭成立。
- 数乘封闭。任取一个向量 v v v，有 A v = 0 Av=0 Av=0，其数乘， A ( c v ) = c A ( v ) = A v = 0 c ∈ R A(cv)=cA(v)=Av=0\quad c\in R A(cv)=cA(v)=Av=0c∈R，数乘也封闭。
不是的。我们取上述的 b = [ 1 2 3 4 ] b=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix} b= 1234 方程变成： A x = b [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 1 2 3 4 ] Ax=b\quad\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix} Ax=b 123411112345 x1x2x3 = 1234 那么他们的解是否构成子空间？显然不是的，因为前面我们已经知道子空间必须包含零向量，在本例中，零向量显然不能使的等式成立，故不是一个子空间。那么它是一个什么向量集合组成的？可以取：
- x = [ 1 0 0 ] x=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} x= 100
- x = [ 0 − 1 1 ] x=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix} x= 0−11
- x = [ 2 1 − 1 ] x=\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix} x= 21−1
虽然不太好找，事实上其通解为： x = [ 0 − 1 1 ] + λ [ 1 1 − 1 ] λ ∈ R x=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}+\lambda\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\quad \lambda\in R x= 0−11 +λ 11−1 λ∈R
空间中是一条不经过原点的直线。 
- 子空间的并集不一定仍是子空间，但是交集肯定是子空间；
- 列空间是矩阵列向量形成的空间，不一定能形成最大子空间；
- 零空间 A x = 0 Ax=0 Ax=0的系数向量构成的空间，一定是一个子空间；
- 非零空间 A x = b ( b ≠ 0 ) Ax=b(b\ne0) Ax=b(b=0)所构成的空间，一定不是一个子空间；
[1] 严格的证明在这里就不深入理解了。
