前面讨论了 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解的情况：
- 至少有一个零解
- 最大的子空间就是列数维度的空间
- 接着就是一直“坍塌”成零空间
一、 A x = b Ax=b Ax=b进行RREF
上一节课，我们解决了 A x = 0 Ax=0 Ax=0解的问题，这个问题被由最后的 R x = 0 Rx=0 Rx=0解决，这一节我们讨论更加一般的情况 A x = b Ax=b Ax=b。
[
1
3
0
2
0
0
1
4
1
3
1
6
]
[
x
1
x
2
x
3
x
4
]
=
[
1
6
7
]
\begin{bmatrix} 1 &3&0&2\\ 0&0&1&4\\ 1&3&1&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\6\\7 \end{bmatrix}
⎣⎡101303011246⎦⎤⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎡167⎦⎤
四个未知数，三个方程。写成增广矩阵形式：
[
1
3
0
2
1
0
0
1
4
6
1
3
1
6
7
]
\begin{bmatrix} 1 &3&0&2&1\\ 0&0&1&4&6\\ 1&3&1&6&7 \end{bmatrix}
⎣⎡101303011246167⎦⎤
化简成RREF形式：
[
1
3
0
2
1
0
0
1
4
6
0
0
0
0
0
]
=
[
R
d
]
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R&d \end{bmatrix}
⎣⎡100300010240160⎦⎤=[Rd]
最后一行
R
R
R是全零行，对应的同行的
d
d
d也为0。继续考虑一般情况：
[
1
3
0
2
b
1
0
0
1
4
b
2
1
3
1
6
b
3
]
=
[
1
3
0
2
b
1
0
0
1
4
b
2
0
0
0
0
b
3
−
b
2
−
b
1
]
\begin{bmatrix} 1 &3&0&2&b_1\\ 0&0&1&4&b_2\\ 1&3&1&6&b_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &3&0&2&b_1\\ 0&0&1&4&b_2\\ 0&0&0&0&b_3-b_2-b_1 \end{bmatrix}
⎣⎡101303011246b1b2b3⎦⎤=⎣⎡100300010240b1b2b3−b2−b1⎦⎤
行向量组合如果是零向量，那么对应的结果向量也必须有相同的变换。
b
3
−
b
2
−
b
1
=
0
b_3-b_2-b_1=0
b3−b2−b1=0时，最后一个等式才成立；从列空间来看，所有向量都无法对
b
b
b的最后一行造成任何影响，所以它必须是0。
二、一个特解
还是以上一段提到的矩阵为例：
[
1
3
0
2
1
0
0
1
4
6
0
0
0
0
0
]
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
⎣⎡100300010240160⎦⎤
在确保最后一个方程成立后，方程必然有解，因为单位向量能够组成除了零行的任何向量。自由向量依然可以随意选取，最简单的不就是全零，因此我们得到唯一的特解：
x
p
=
[
1
0
6
0
]
x_p=\begin{bmatrix}1\\0\\6\\0\end{bmatrix}
xp=⎣⎢⎢⎡1060⎦⎥⎥⎤，从这个意义上看，特解像是不考虑自由列的，完全由主列决定的唯一解。
主元列是唯一有效输入至结果变量的，其比例是稳定的，再叠加上零空间的解（不会使得已经输出的结果改变）。于是最终方程的解为：
x
=
x
p
+
x
n
=
[
1
0
6
0
]
+
x
2
[
−
3
1
0
0
]
+
x
4
[
−
2
0
−
4
1
]
x=x_p+x_n=\begin{bmatrix}1\\0\\6\\0\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}-3\\1\\0\\0\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}-2\\0\\-4\\1\end{bmatrix}
x=xp+xn=⎣⎢⎢⎡1060⎦⎥⎥⎤+x2⎣⎢⎢⎡−3100⎦⎥⎥⎤+x4⎣⎢⎢⎡−20−41⎦⎥⎥⎤
个人觉得可以这么理解，一个三维空间，主列向量其实就类似于基底，因为所有其他自由向量都可以由他们表示，其他都是基底的线性组合。从图像的角度来看，在四维空间中，他表示一个过 x p x_p xp的三维空间。
系数矩阵 A A A的行数是 m m m，列数是 n n n，对应的秩为 r r r，在线性代数中行秩等于列秩等于矩阵的秩。
如果矩阵 A A A是列满秩的，那么其零空间为全零向量，全部列向量都为主元列，没有自由向量。
如果矩阵 A A A是行满秩的，那么其列空间为 R m R^m Rm，他始终有解。
三、矩阵秩与解的关系
对于一个秩为 r r r的 m × n m\times n m×n系数矩阵A：（ r < m r
