文章目录
- 1.3.1 概率的可加性
- 1.3.2 概率的单调性
- 1.3.3 概率的加法公式
- 1.3.4 概率的连续性
【配套教材】概率论与数理统计教程（第三版）——茆诗松
性质1： P ( Ω ) = 0 P(\Omega)=0 P(Ω)=0
证明：由于任何事件与不可能事件之并仍是此事件本身，所以
Ω
=
Ω
∪
∅
∪
∅
∪
.
.
.
∪
∅
∪
.
.
.
\Omega=\Omega\cup\varnothing\cup\varnothing\cup...\cup\varnothing\cup...
Ω=Ω∪∅∪∅∪...∪∅∪...
因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性公理得
P
(
Ω
)
=
P
(
Ω
)
+
P
(
∅
)
+
P
(
∅
)
+
.
.
.
+
P
(
∅
)
+
.
.
.
P(\Omega)=P(\Omega)+P(\varnothing)+P(\varnothing)+...+P(\varnothing)+...
P(Ω)=P(Ω)+P(∅)+P(∅)+...+P(∅)+...
从而由
P
(
Ω
)
=
1
P(\Omega)=1
P(Ω)=1得
P
(
∅
)
+
P
(
∅
)
+
.
.
.
=
0
P(\varnothing)+P(\varnothing)+...=0
P(∅)+P(∅)+...=0
再由非负性公理，必有
P
(
Ω
)
=
0
P(\Omega)=0
P(Ω)=0
结论得证
1.3.1 概率的可加性
性质2(有限可加性)：若有限个事件
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_1,A_2,...,A_n
A1,A2,...,An互不相容，则有
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P(\bigcup\limits_{i = 1}^n {{A_i}} ) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})}
P(i=1⋃nAi)=i=1∑nP(Ai)
证明：对
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
,
∅
,
∅
,
.
.
.
A_1,A_2,...,A_n,\varnothing,\varnothing,...
A1,A2,...,An,∅,∅,...应用可列可加性，得
P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n ) = P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ . . . ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . . . + P ( A n ) + P ( ∅ ) + P ( ∅ ) + . . . = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . . . + P ( A n ) \begin{aligned} P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}) &= P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n} \cup \varnothing \cup \varnothing \cup ...) \\ &= P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_n}) + P(\varnothing ) + P(\varnothing ) + ... \\ &= P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_n})\\ \end{aligned} P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1∪A2∪...∪An∪∅∪∅∪...)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+P(∅)+P(∅)+...=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
结论得证
性质3：对任一事件A，有 P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline A ) = 1 - P(A) P(A)=1−P(A)
证明：因为 A A A与 A ‾ \overline A A互不相容，且 Ω = A ∪ A ‾ \Omega = A \cup \overline A Ω=A∪A。所以由概率的正则性和有限可加性得 1 = P ( A ) + P ( A ‾ ) 1 = P(A) + P(\overline A ) 1=P(A)+P(A)，由此可得 P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline A ) = 1 - P(A) P(A)=1−P(A)
1.3.2 概率的单调性
性质4：若 A ⊃ B A \supset B A⊃B，则 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) P(A - B) = P(A) - P(B) P(A−B)=P(A)−P(B)
证明：因为
A
⊃
B
A \supset B
A⊃B，所以
A
=
B
∪
(
A
−
B
)
A = B \cup (A - B)
A=B∪(A−B)
且
B
B
B与
A
−
B
A - B
A−B互不相容，由有限可加性得
P
(
A
)
=
P
(
B
)
+
P
(
A
−
B
)
P(A) = P(B) + P(A - B)
P(A)=P(B)+P(A−B)
即得
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
B
)
P(A - B) = P(A) - P(B)
P(A−B)=P(A)−P(B)
结论得证
推论（单调性）：若 A ⊃ B A \supset B A⊃B，则 P ( A ) ⩾ P ( B ) P(A) \geqslant P(B) P(A)⩾P(B)
性质5：对任意两个事件 A , B A,B A,B，有 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A - B) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)
证明：因为
A
−
B
=
A
−
A
B
A - B = A - AB
A−B=A−AB，且
A
B
⊂
A
AB \subset A
AB⊂A，所以由性质4得
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
−
A
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A - B) = P(A - AB) = P(A) - P(AB)
P(A−B)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)
结论得证
1.3.3 概率的加法公式
性质6（加法公式）：对任意两个事件
A
,
B
A,B
A,B，有
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
对任意n个事件
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_1,A_2,...,A_n
A1,A2,...,An，有
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
−
∑
1
⩽
i
<
j
⩽
n
P
(
A
i
A
j
)
+
∑
1
⩽
i
<
j
<
k
⩽
n
P
(
A
i
A
j
A
k
)
+
.
.
.
+
(
−
1
)
n
−
1
P
(
A
1
A
2
.
.
.
A
n
)
\begin{aligned} P(\bigcup\limits_{i = 1}^n {{A_i}} ) &= \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i}) - \sum\limits_{1 \leqslant i\lt j \leqslant n}^{} {P({A_i}{A_j})} } + \\ & \sum\limits_{1 \leqslant i\lt j \lt k \leqslant n}^{} {P({A_i}{A_j}{A_k}) + ... + {{( - 1)}^{n - 1}}P({A_1}{A_2}...{A_n})} \end{aligned}
P(i=1⋃nAi)=i=1∑nP(Ai)−1⩽i{A_i}} ) \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})}
{F_n}}
{F_n}}
{E_n}}
{E_n}}
