文章目录
- 1.5.1 两个事件的独立性
- 1.5.2 多个事件的相互独立性
- 1.5.3 试验的独立性
1.5.1 两个事件的独立性
两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生，比如在掷两颗骰子的试验中，记事件 A A A为“第一颗骰子的点数为1”，记事件 B B B为“第二颗骰子的点数为4”。则显然 A A A与 B B B的发生是互相不影响的。
另外，从概率的角度看，事件
A
A
A的条件概率
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P(A∣B)与无条件概率
P
(
A
)
P(A)
P(A)的差别在于：事件
B
B
B的发生改变了事件
A
A
A的概率，也即事件
B
B
B对事件
A
A
A有某种”影响“。如果事件
A
A
A与
B
B
B的发生是互相不影响的，则有
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
P(A|B) = P(A)
P(A∣B)=P(A)和
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
B
)
P(B|A) = P(B)
P(B∣A)=P(B)，他们都等价于
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB) = P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
定义1 如果上述等式成立，则称事件
A
A
A与
B
B
B相互独立，简称
A
A
A与
B
B
B独立。否则称
A
A
A与
B
B
B不独立或相依。
性质1 若事件 A A A与 B B B独立，则 A A A与 B ‾ \overline B B独立， A ‾ \overline A A与 B B B独立， A ‾ \overline A A与 B ‾ \overline B B独立。
证明如下：
由概率的性质知
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A\overline B ) = P(A) - P(AB)
P(AB)=P(A)−P(AB)
又由
A
A
A与
B
B
B的独立性可知
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB) = P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
所以
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
)
[
1
−
P
(
B
)
]
=
P
(
A
)
P
(
B
‾
)
P(A\overline B ) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)[1 - P(B)] = P(A)P(\overline B )
P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B)
这表明
A
A
A与
B
‾
\overline B
B独立。类似可证
A
‾
\overline A
A与
B
B
B独立，
A
‾
\overline A
A与
B
‾
\overline B
B独立。
1.5.2 多个事件的相互独立性
定义2 设
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C是三个事件，如果有
{
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
C
)
=
P
(
A
)
P
(
C
)
P
(
B
C
)
=
P
(
B
)
P
(
C
)
\begin{cases} P(AB)=P(A)P(B) \\P(AC)=P(A)P(C) \\ P(BC)=P(B)P(C)\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)
则称
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C两两独立，若还有
P
(
A
B
C
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C相互独立。多个事件的定义依次往后类推。
1.5.3 试验的独立性
定义3 设有两个试验 E 1 E_1 E1和 E 2 E_2 E2，假如试验 E 1 E_1 E1的任一结果（事件）与试验 E 2 E_2 E2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。
例如，掷一枚硬币（试验 E 1 E_1 E1）与掷一颗骰子（试验 E 2 E_2 E2）是相互独立的试验。
类似地可以定义
n
n
n个试验
E
1
,
E
2
,
.
.
.
,
E
n
E_1,E_2,...,E_n
E1,E2,...,En的相互独立性：如果
E
1
E_1
E1的任一结果、
E
2
E_2
E2的任一结果、
.
.
.
.
.
.
......
......、
E
n
E_n
En的任一结果都是相互独立的事件，则称试验
E
1
,
E
2
,
.
.
.
,
E
n
E_1,E_2,...,E_n
E1,E2,...,En相互独立。如果这
n
n
n个独立试验还是相同的，则称其为n重独立重复试验。如果在
n
n
n重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：
A
A
A或
A
‾
\overline A
A，则称这种试验为n重伯努利(Bernoulli)试验。
例如，掷
n
n
n枚硬币、掷
n
n
n颗骰子、检查
n
n
n个产品等，都是
n
n
n重独立重复试验。
