柱函数的提出

考虑固定边界的圆膜振动, 可以归结为定解问题
{ u u = a 2 ( u x x + u y y ) ( 0 ⩽ x 2 + y 2 < l 2 , t > 0 ) u ∣ x 2 + y 2 = l 2 = 0 ( t ⩾ 0 ) , u ( x , y , 0 ) = φ ( x , y ) , u l ( x , y , 0 ) = ψ ( x , y ) ( 0 ⩽ x 2 + y 2 ⩽ l 2 ) , \begin{cases}u_{u}=a^{2}\left(u_{x x}+u_{y y}\right) & \left(0 \leqslant x^{2}+y^{2}0\right) \\ \left.u\right|_{x^{2}+y^{2}=l^{2}}=0 & (t \geqslant 0), \\ u(x, y, 0)=\varphi(x, y) & , u_{l}(x, y, 0)=\psi(x, y) \quad \left(0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant l^{2}\right),\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​uu​=a2(uxx​+uyy​)u∣x2+y2=l2​=0u(x,y,0)=φ(x,y)​(0⩽x2+y20)(t⩾0),,ul​(x,y,0)=ψ(x,y)(0⩽x2+y2⩽l2),​
在柱坐标下定解问题变为
{ r 2 R ′ ′ ( r ) + r R ′ ( r ) + [ ( k r ) 2 − v 2 ] R ( r ) = 0 Φ ′ ′ ( φ ) + n 2 Φ ( φ ) = 0 , Φ ( φ + 2 π ) = Φ ( φ ) . Z ′ ′ + μ Z ( z ) = 0 \left\{\begin{array}{l}r^{2} R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime}(r)+\left[(k r)^{2}-v^{2}\right] R(r)=0 \\ \Phi^{\prime \prime}(\varphi)+n^{2} \Phi(\varphi)=0, \quad \Phi(\varphi+2 \pi)=\Phi(\varphi) . \\ Z^{\prime \prime}+\mu Z(z)=0\end{array}\right. ⎩⎨⎧​r2R′′(r)+rR′(r)+[(kr)2−v2]R(r)=0Φ′′(φ)+n2Φ(φ)=0,Φ(φ+2π)=Φ(φ).Z′′+μZ(z)=0​
k 2 = λ − μ k^2=\lambda-\mu k2=λ−μ， λ \lambda λ在分离时间时引入， μ \mu μ在分离 z z z变量时引入， μ = 0 \mu=0 μ=0表示系统在z方向平移不变， λ = 0 \lambda=0 λ=0表示稳定场。

在 k 2 = λ − μ ≠ 0 k^2=\lambda-\mu \neq 0 k2=λ−μ​=0时的径向方程为bessel方程。

令 k r = x kr=x kr=x， R ( r ) = y ( x ) R(r)=y(x) R(r)=y(x)， x 2 y ′ ′ + x y ′ + ( x 2 − v 2 ) y = 0 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0 x2y′′+xy′+(x2−v2)y=0， v v v阶Bessel方程

y ′ ′ + 1 x y ′ + ( 1 − v 2 x 2 ) y = 0 y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime}+\left(1-\frac{v^{2}}{x^{2}}\right) y=0 y′′+x1​y′+(1−x2v2​)y=0

Bessel方程的解

x 0 x_0 x0​是方程的正则奇点，为了使最后不会得到奇奇怪怪x的小数项，级数展开时都乘以 x ρ x^\rho xρ，则 y ( x ) = x ρ ∑ k = 0 ∞ c k ( x − x 0 ) k y(x)=x^\rho \sum_{k=0}^{\infty }c_k(x-x_0)^k y(x)=xρ∑k=0∞​ck​(x−x0​)k

ρ \rho ρ为指标，求 ρ \rho ρ的方程–指标方程

将 y = ∑ k = 0 ∞ c k x k + ρ y=\sum^{\infty}_{k=0}c_kx^{k+\rho} y=∑k=0∞​ck​xk+ρ带入Bessel 方程并化简得到

{ ( ρ 2 − ν 2 ) c 0 = 0 , [ ( ρ + 1 ) 2 − ν 2 ] c 1 = 0 , [ ( ρ + k ) 2 − ν 2 ] c k + c k − 2 = 0 , k = 2 , 3 , 4 , ⋯   . \left\{\begin{array}{l}\left(\rho^{2}-\nu^{2}\right) c_{0}=0,\\ \left[(\rho+1)^{2}-\nu^{2}\right] c_{1}=0,\\ \left[(\rho+k)^{2}-\nu^{2}\right] c_{k}+c_{k-2}=0, k=2,3,4, \cdots .\end{array}\right. ⎩⎨⎧​(ρ2−ν2)c0​=0,[(ρ+1)2−ν2]c1​=0,[(ρ+k)2−ν2]ck​+ck−2​=0,k=2,3,4,⋯.​

由于 c 0 = c 1 = 0 c_0=c_1=0 c0​=c1​=0只能得到平凡解，故 c 0 ≠ 0 , c 1 ≠ 0 c_0\neq0,c_1\neq0 c0​​=0,c1​​=0，可以舍去，因此可以得到指标方程为 ρ 2 − v 2 = 0 \rho^2-v^2=0 ρ2−v2=0，所以 ρ 1 = v \rho_1=v ρ1​=v或 ρ 2 = − v \rho_2=-v ρ2​=−v。

当 ρ 1 = v \rho_1=v ρ1​=v时， c 0 ≠ 0 c_0\neq 0 c0​​=0， c 1 = 0 c_1=0 c1​=0，令 c 2 n = ( − 1 ) n c 0 Γ ( ν + 1 ) 2 2 n n ! Γ ( ν + n + 1 ) c_{2 n}=(-1)^{n} \frac{c_{0} \Gamma(\nu+1)}{2^{2 n} n ! \Gamma(\nu+n+1)} c2n​=(−1)n22nn!Γ(ν+n+1)c0​Γ(ν+1)​， c 0 = 1 2 v Γ ( ν + 1 ) c_0=\frac{1}{2^v\Gamma(\nu+1)} c0​=2vΓ(ν+1)1​。

【这样取 c 0 , c 2 n c_0,c_{2n} c0​,c2n​是为了方便母/子函数表达方便】

则第一个解 y 1 ( x ) = J v ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 1 k ! Γ ( v + k + 1 ) ( x 2 ) 2 k + v y_1(x)=J_v(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k!\Gamma(v+k+1)}(\frac{x}{2})^{2k+v} y1​(x)=Jv​(x)=∑k=0∞​(−1)kk!Γ(v+k+1)1​(2x​)2k+v， J v ( x ) J_v(x) Jv​(x)称作 v v v阶Bessel函数。

若 ρ 2 = − v \rho_2=-v ρ2​=−v，则称作 − v -v −v阶Bessel 函数， y 2 ( x ) = J − v ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 1 k ! Γ ( − v + k + 1 ) ( x 2 ) 2 k − v y_2(x)=J_{-v}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k!\Gamma(-v+k+1)}(\frac{x}{2})^{2k-v} y2​(x)=J−v​(x)=∑k=0∞​(−1)kk!Γ(−v+k+1)1​(2x​)2k−v

J v ( x ) , J − v ( x ) J_v(x),J_{-v}(x) Jv​(x),J−v​(x)称为第一类柱函数

①若 v ≠ n v\neq n v​=n(整数) ， J v ( x ) J_v(x) Jv​(x)与 J − v ( x ) J_{-v}(x) J−v​(x)是线性无关

y ( x ) = a v J v ( x ) + b v J − v ( x ) y(x)=a_vJ_v(x)+b_vJ_{-v}(x) y(x)=av​Jv​(x)+bv​J−v​(x)

②若 v = n v= n v=n(整数) ， J − v ( x ) = ( − 1 ) n J v ( x ) J_{-v}(x)=(-1)^nJ_v(x) J−v​(x)=(−1)nJv​(x)

J n J_n Jn​与 J − n J_{-n} J−n​线性相关，须构建其他与 J n ( x ) J_n(x) Jn​(x)线性无关的函数。

Bessel函数的性质

贝塞尔函数的本征值：

{ r R ′ ′ ( r ) + r R ′ ( r ) + [ ( k r ) 2 − n 2 ] R ( r ) = 0 R ( r ) ( r → 0 ) 有 限 [ α d R d r + β R ] ∣ r = a = 0 \left\{\begin{array}{l} r R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime}(r)+\left[(k r)^{2}-n^{2}\right] R(r)=0\\ R(r)_{(r\rightarrow0)}有限 \\ \left. \left[\alpha \frac{d R}{d r}+\beta R\right]\right|_{r=a}=0 \end{array}\right. ⎩⎨⎧​rR′′(r)+rR′(r)+[(kr)2−n2]R(r)=0R(r)(r→0)​有限[αdrdR​+βR]∣∣​r=a​=0​

R m n ( P ) = R ( k m n P ) R_m^n(P)=R(k_m^nP) Rmn​(P)=R(kmn​P)

R ( r ) = J n ( k r ) R(r)=J_n(kr) R(r)=Jn​(kr)， k 2 = λ − μ k^2=\lambda-\mu k2=λ−μ，令 x = k r x=kr x=kr

以 α = 0 \alpha=0 α=0这种第一类齐次边界条件为例

J n ( k r ) ∣ r = a = J n ( k a ) = 0 \left.J_{n}(k r)\right|_{r=a}=J_n(ka)=0 Jn​(kr)∣r=a​=Jn​(ka)=0，零根 x m n x_m^n xmn​是使 J n ( k a ) = 0 J_n(ka)=0 Jn​(ka)=0为 n n n阶贝塞尔方程的第 m m m个零根， { k m a a = x m n m = 1 , 2 , ⋯ \left\{\begin{array}{l} k_{m}^{a} a=x_{m}^{n}\\ m=1,2, \cdots \end{array}\right. {kma​a=xmn​m=1,2,⋯​, k m n k_m^n kmn​为 n n n阶贝塞尔方程的第 m m m个本征值，第 m m m个本征函数 J n ( k m n r ) = J n ( x m n α r ) J_n(k_m^nr)=J_n(\frac{x_m^n}{\alpha}r) Jn​(kmn​r)=Jn​(αxmn​​r)

零点性质：

J n ( x ) J_{n}(x) Jn​(x) 的零点都是孤立的.
J n ( x ) J_{n}(x) Jn​(x) 的零点除 x = 0 x=0 x=0 而外都是单零点.
J 0 ( x ) J_{0}(x) J0​(x) 在 k π < x < ( k + 1 ) π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   ) k \pi − 1 2 ) \left(\operatorname{Re} \nu>-\frac{1}{2}\right) (Reν>−21​),
J v ( x ) = 1 2 π ∫ − π π cos ⁡ ( x sin ⁡ θ − ν θ ) d θ − sin ⁡ ν π π ∫ 0 + ∞ e − x sin ⁡ h ζ − v ξ d ξ {J_{v}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos (x \sin \theta-\nu \theta) \mathrm{d} \theta-\frac{\sin \nu \pi}{\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-x \sin h \zeta -v \xi} }\mathrm{d} \xi Jv​(x)=2π1​∫−ππ​cos(xsinθ−νθ)dθ−πsinνπ​∫0+∞​e−xsinhζ−vξdξ
( Re ⁡ x > 0 ) . (\operatorname{Re} x>0) . (Rex>0).

显然,在此式中令 v = v= v=整数, 则得整数阶贝塞尔函数的积分表达式.

贝塞尔函数的变形

先来看一下最基本的变形:
x 2 y ′ ′ + x y ′ + ( λ 2 x 2 − v 2 ) y = 0 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(\lambda^{2} x^{2}-v^{2}\right) y=0 x2y′′+xy′+(λ2x2−v2)y=0
令 t = λ x t=\lambda x t=λx，则
t 2 d 2 y   d t 2 + t d y   d t + ( t 2 − v 2 ) y = 0 t^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}+t \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+\left(t^{2}-v^{2}\right) y=0 t2 dt2d2y​+t dtdy​+(t2−v2)y=0
有通解：
y ( t ) = C 1 J v ( t ) + C 2 Y v ( t ) y(t)=C_{1} J_{v}(t)+C_{2} Y_{v}(t) y(t)=C1​Jv​(t)+C2​Yv​(t)

代回 x = λ t x=\lambda t x=λt, 就有:
y ( x ) = C 1 J v ( λ x ) + C 2 Y v ( λ x ) y(x)=C_{1} J_{v}(\lambda x)+C_{2} Y_{v}(\lambda x) y(x)=C1​Jv​(λx)+C2​Yv​(λx)

半奇数阶贝塞尔函数：

J 1 2 ( x ) = ( x 2 ) 1 2 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! Γ ( 3 2 + k ) ( x 2 ) 2 k = 2 π x sin ⁡ x J_{\frac{1}{2}}(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k ! \Gamma\left(\frac{3}{2}+k\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 k}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x J21​​(x)=(2x​)21​∑k=0∞​k!Γ(23​+k)(−1)k​(2x​)2k=πx2​ ​sinx ,

J − 1 2 ( x ) = ( x 2 ) − 1 2 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! Γ ( 1 2 + k ) ( x 2 ) 2 k = 2 π x cos ⁡ x . J_{-\frac{1}{2}}(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k ! \Gamma\left(\frac{1}{2}+k\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 k}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x . J−21​​(x)=(2x​)−21​∑k=0∞​k!Γ(21​+k)(−1)k​(2x​)2k=πx2​ ​cosx.,

再由递推公式可知：
J 2 m + 1 2 ( x ) = ( − 1 ) m 2 π 2 2 m + 1 2 2 d m ( x   d x ) m ( sin ⁡ x x ) . J − 2 m + 1 2 ( x ) = 2 π x 2 m + 1 2 d m ( x   d x ) m ( cos ⁡ x x ) . J_{\frac{2 m+1}{2}}(x)=(-1)^{m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{2 \frac{2 m+1}{2}}{2} \frac{\mathrm{d}^{m}}{(x \mathrm{~d} x)^{m}}\left(\frac{\sin x}{x}\right) . \\ J_{-\frac{2 m+1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{\frac{2 m+1}{2}} \frac{\mathrm{d}^{m}}{(x \mathrm{~d} x)^{m}}\left(\frac{\cos x}{x}\right) . J22m+1​​(x)=(−1)mπ2​ ​2222m+1​​(x dx)mdm​(xsinx​).J−22m+1​​(x)=π2​ ​x22m+1​(x dx)mdm​(xcosx​).

其他柱函数

第二类贝塞尔函数：至此我们已经理清了贝塞尔函数的基本性质，可以对圆膜问题进行处理(处理过程见特征值部分)。然而第一类贝塞尔函数只能描述 n = v ∉ N n=v\notin N n=v∈/​N时的解，因此我们需要引入第二类贝塞尔函数： 【第二类Bessel函数也称作诺依曼函数，也记作 N v ( x ) N_v(x) Nv​(x)】
Y ν ( x ) = cos ⁡ ν π J ν ( x ) − J − ν ( x ) sin ⁡ ν π Y_{\nu}(x)=\frac{\cos \nu \pi J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin {\nu \pi}} Yν​(x)=sinνπcosνπJν​(x)−J−ν​(x)​
当 v v v为整数 n n n时，上式又成为待定式，这时, 我们定义
Y n ( x ) = lim ⁡ ν → n Y ν ( x ) . Y_{n}(x)=\lim _{\nu \rightarrow n} Y_{\nu}(x) . Yn​(x)=ν→nlim​Yν​(x).
运用洛必达法则算出 lim ⁡ ν → n Y ν ( x ) = lim ⁡ ν → n − π sin ⁡ ν π J ν ( x ) + cos ⁡ ν π ∂ J ν ( x ) ∂ ν − ∂ J − ν ( x ) ∂ ν π cos ⁡ ν π \lim _{\nu \rightarrow n} Y_{\nu}(x)=\lim _{\nu \rightarrow n} \frac{-\pi \sin \nu \pi J_{\nu}(x)+\cos \nu \pi \frac{\partial J_{\nu}(x)}{\partial \nu}-\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}}{\pi \cos \nu \pi} limν→n​Yν​(x)=limν→n​πcosνπ−πsinνπJν​(x)+cosνπ∂ν∂Jν​(x)​−∂ν∂J−ν​(x)​​，故
Y n ( x ) = 1 π [ ∂ J ν ( x ) ∂ ν − ( − 1 ) n ∂ J − ν ( x ) ∂ ν ] ν = n Y_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_{\nu}(x)}{\partial \nu}-(-1)^{n} \frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n} Yn​(x)=π1​[∂ν∂Jν​(x)​−(−1)n∂ν∂J−ν​(x)​]ν=n​
由计算可知 Y − n ( x ) = ( − 1 ) n Y n ( x ) Y_{-n}(x)=(-1)^nY_n(x) Y−n​(x)=(−1)nYn​(x)【只对整数阶有效】

Y n ( x ) Y_n(x) Yn​(x)是贝塞尔方程的解，将其带入贝塞尔方程结果为 0 0 0。将 J v J_v Jv​、 J − v J_{-v} J−v​带入 Y n ( x ) Y_n(x) Yn​(x)中，则
Y n ( x ) = 2 π J n ( x ) ln ⁡ x 2 − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 ) − n + 2 k − 1 π ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ( n + k ) ! [ ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) ] ( x 2 ) n + 2 k , n = 0 , 1 , 2 , ⋯   , \begin{aligned} Y_{n}(x)=& \frac{2}{\pi} J_{n}(x) \ln \frac{x}{2}-\frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-k-1) !}{k !}\left(\frac{x}{2}\right)^{-n+2 k} \\ &-\frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k !(n+k) !}[\psi(k+1)+\psi(n+k+1)]\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2 k}, \\ & n=0,1,2, \cdots, \end{aligned} Yn​(x)=​π2​Jn​(x)ln2x​−π1​k=0∑n−1​k!(n−k−1)!​(2x​)−n+2k−π1​k=0∑∞​k!(n+k)!(−1)k​[ψ(k+1)+ψ(n+k+1)](2x​)n+2k,n=0,1,2,⋯,​
其中
ψ ( 1 ) = − γ , ψ ( k + 1 ) = − γ + 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k . \psi(1)=-\gamma, \quad \psi(k+1)=-\gamma+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{k} . ψ(1)=−γ,ψ(k+1)=−γ+1+21​+31​+⋯+k1​.
欧拉常数 γ = 0.577216 ⋯ \gamma=0.577216 \cdots γ=0.577216⋯, 当 n = 0 n=0 n=0 时, 须从 Y n ( x ) Y_{n}(x) Yn​(x)表达式中去掉右端第二项有限和。
因为当 n = 0 n=0 n=0 时, J 0 ( 0 ) = 1 J_{0}(0)=1 J0​(0)=1，当 n > 0 n>0 n>0 时, J n ( 0 ) = 0 J_{n}(0)=0 Jn​(0)=0, 故可以看出函数 Y n ( x ) Y_{n}(x) Yn​(x) 在 x = 0 x=0 x=0点的奇异性为
Y 0 ( x ) ∼ 2 π ln ⁡ x 2 , Y n ( x ) ∼ − ( n − 1 ) ! π ( x 2 ) − n , \begin{gathered} Y_{0}(x) \sim \frac{2}{\pi} \ln \frac{x}{2}, \\ Y_{n}(x) \sim \frac{-(n-1) !}{\pi}\left(\frac{x}{2}\right)^{-n}, \end{gathered} Y0​(x)∼π2​ln2x​,Yn​(x)∼π−(n−1)!​(2x​)−n,​
从而得知 J n ( x ) J_{n}(x) Jn​(x) 与 Y n ( x ) Y_{n}(x) Yn​(x) 线性无关。

如果要求的是有界解, r < a r