复变积分
- 复变积分
- C a u c h y Cauchy Cauchy 定理
- C a u c h y Cauchy Cauchy 积分公式
- C a u c h y Cauchy Cauchy 积分公式的若干推论
复变积分
复变积分是复平面
C
\mathbb{C}
C 上的线积分。设
C
C
C 是
C
\mathbb{C}
C 内的一条由
A
A
A 点到
B
B
B 点的曲线，函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
C
C
C上有定义。把曲线
C
C
C任意分割为
n
n
n 段，
ζ
k
\zeta_{k}
ζk 是
z
k
−
1
→
z
k
z_{k-1} \rightarrow z_{k}
zk−1→zk 段上的任意一点，作和数
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
(
z
k
−
z
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
Δ
z
k
\sum_{k=1}^{n} f\left(\zeta_{k}\right)\left(z_{k}-z_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n} f\left(\zeta_{k}\right) \Delta z_{k}
k=1∑nf(ζk)(zk−zk−1)=k=1∑nf(ζk)Δzk
其中
Δ
z
k
=
z
k
−
z
k
−
1
\Delta z_{k}=z_{k}-z_{k-1}
Δzk=zk−zk−1. 若当
n
→
∞
,
max
∣
Δ
z
k
∣
→
0
n \rightarrow \infty, \max \left|\Delta z_{k}\right| \rightarrow 0
n→∞,max∣Δzk∣→0 时，此和数的极限存在，且极限值与
ζ
k
\zeta_{k}
ζk 的选取无关，则称此极限值为函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 沿曲线
C
C
C 的积分，记为
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
lim
max
∣
Δ
z
k
∣
→
0
∑
k
=
1
n
f
(
ζ
k
)
Δ
z
k
\int_{C} f(z) \mathrm{d} z=\lim _{\max \left|\Delta z_{k}\right| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f\left(\zeta_{k}\right) \Delta z_{k}
∫Cf(z)dz=max∣Δzk∣→0limk=1∑nf(ζk)Δzk
利用微积分中曲线积分的知识对复变函数进行积分得
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
(
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
∫
C
(
v
d
x
+
u
d
y
)
\int_{C} f(z) d z=\int_{C}(u d x-v d y)+i \int_{C}(v d x+u d y)
∫Cf(z)dz=∫C(udx−vdy)+i∫C(vdx+udy)
C a u c h y Cauchy Cauchy 定理
Cauchy 定理：如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在有界闭区域
D
ˉ
\bar{D}
Dˉ中解析，则沿
D
ˉ
\bar{D}
Dˉ的边界
C
C
C有：
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
\oint_C f(z) dz=0
∮Cf(z)dz=0
当被积复变函数在区域内有奇点(不解析的点)时，需要把奇点排除在外，设
D
D
D是由复围线
C
=
C
0
+
C
1
−
+
C
2
−
+
⋯
+
C
n
−
C=C_{0}+C_{1}^{-}+C_{2}^{-}+\cdots+C_{n}^{-}
C=C0+C1−+C2−+⋯+Cn−所围成的复连通区域，函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
D
D
D 内解析，则Cauchy积分还可写为
∮
C
0
f
(
z
)
d
z
=
∑
i
=
1
n
∮
C
i
f
(
z
)
d
z
\oint_{C_0} f(z) dz=\sum_{i=1}^n \oint_{C_i}f(z)dz
∮C0f(z)dz=i=1∑n∮Cif(z)dz
注意此时内外围线积分是同向积分，可由
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
0
f
(
z
)
d
z
−
∑
i
=
1
n
∮
C
i
f
(
z
)
d
z
=
0
\oint_{C} f(z) dz=\oint_{C_0} f(z) dz-\sum_{i=1}^n \oint_{C_i}f(z)dz=0
∮Cf(z)dz=∮C0f(z)dz−∑i=1n∮Cif(z)dz=0推出上式。
Cauchy 定理的推论：
若 f ( z ) f(z) f(z)在有界单连通区域 D D D 中解析，则复变积分 ∫ C f ( z ) d z \int_{C} f(z) \mathrm{d} z ∫Cf(z)dz 与路径 C C C 无关 ( C ⊂ D C \subset D C⊂D)。
既然在有界单连通区域中解析函数的积分值与路径无关，因此，如果固定起点
z
0
z_{0}
z0，而令终点
z
z
z为变点，则作为积分上限的函数
∫
z
0
z
f
(
ζ
)
d
ζ
=
F
(
z
)
,
z
∈
D
\int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \mathrm{d} \zeta=F(z), \quad z \in D
∫z0zf(ζ)dζ=F(z),z∈D
是有界单连通区域
D
D
D 内的单值函数，称为
f
(
z
)
f(z)
f(z)的不定积分。
如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在有界单连通区域
D
D
D 内解析，则
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的不定积分
F
(
z
)
=
∫
z
0
z
f
(
ζ
)
d
ζ
,
z
∈
D
F(z)=\int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \mathrm{d} \zeta, \quad z \in D
F(z)=∫z0zf(ζ)dζ,z∈D
也在
D
D
D 内解析，并且
F
′
(
z
)
=
d
d
z
∫
z
0
z
f
(
ζ
)
d
ζ
=
f
(
z
)
,
z
∈
D
.
F^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \mathrm{d} \zeta=f(z), \quad z \in D .
F′(z)=dzd∫z0zf(ζ)dζ=f(z),z∈D.
C a u c h y Cauchy Cauchy 积分公式
设区域
D
D
D 的边界是围线 (或复围线)
C
C
C，
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
D
D
D 内解析，在
D
ˉ
=
D
+
C
\bar{D}=D+C
Dˉ=D+C 上连续，则
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
(
a
∈
D
)
f(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{~d} \zeta \quad(a \in D)
f(z)=2πi1∮ζ−zf(ζ) dζ(a∈D)
或者也可将其写为
f
(
z
0
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
,
z
0
∈
D
f(z_0)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_0} \mathrm{~d} z, \quad z_0 \in D
f(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z) dz,z0∈D
则在
z
=
a
z=a
z=a处有
∮
c
f
(
z
)
z
−
a
d
z
=
2
π
i
f
(
a
)
(
a
∈
D
)
\oint_{c} \frac{f(z)}{z-a} \mathrm{~d} z=2 \pi i f(a) \quad(a \in D)
∮cz−af(z) dz=2πif(a)(a∈D)
可以根据Cauchy 积分公式得到解析函数在特殊点的积分值。
作为 Cauchy 积分公式的特殊形式，取
C
C
C 为以
z
0
z_0
z0 为圆心、
R
R
R 为半径的圆周，如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在圆内解析，即可得到
f
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
0
+
R
e
i
θ
)
d
θ
f(z_0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(z_0+R \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \mathrm{d} \theta
f(z0)=2π1∫02πf(z0+Reiθ)dθ
这个结果称为均值定理：解析函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在解析区域
D
D
D 内任意一点
a
a
a 的函数值
f
(
z
0
)
f(z_0)
f(z0)，等于(完全位于
D
D
D内的) 以该点为圆心的任一圆周上函数值的平均。
由Cauchy 积分公式可得，在包围 a a a的任意围道内有围道积分 ∮ C d z ( z − z 0 ) n = { 2 π i ( n = 1 ) 0 ( n ≠ 1 且 为 整 数 ) \oint_{C} \frac{d z}{(z-z_0)^{n}}=\left\{\begin{array}{ll}2 \pi \mathrm{i} & (n=1) \\ 0 & (n \neq 1且为整数)\end{array}\right. ∮C(z−z0)ndz={2πi0(n=1)(n=1且为整数)
简单推导此式：
当 n = 0 , − 1 , − 2 , ⋯ n=0,-1,-2,\cdots n=0,−1,−2,⋯时， 1 ( z − a ) n = ( z − a ) − n \frac{1}{(z-a)^n}=(z-a)^{-n} (z−a)n1=(z−a)−n在围道 l l l内是解析函数，则其围道积分 ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_C f(z) dz=0 ∮Cf(z)dz=0；
为方便后续推导，设 z − a = ϵ e i θ , ( 0 ≤ θ < 2 π ) z-a=\epsilon e^{i\theta},(0\leq \theta
