函数项级数一致收敛的性质

和函数连续

设级数 ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) ∑n=0∞​fn​(z) 的各项在点集 E E E 上连续，并且一致收敛于 f ( z ) f(z) f(z)，则和函数
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) f(z)=n=0∑∞​fn​(z)
也在 E E E 上连续。

逐项求积分

设级数 ∑ k = 1 ∞ u k ( z ) \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(z) ∑k=1∞​uk​(z) 的各项在曲线 C C C 上连续，并且在 C C C 上一致收敛于 f ( z ) f(z) f(z)，则沿 C C C 可以逐项积分
∫ C ∑ k = 1 ∞ u k ( z ) d z = ∑ k = 1 ∞ ∫ C u k ( z ) d z \int_{C} \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(z) \mathrm{d} z=\sum_{k=1}^{\infty} \int_{C} u_{k}(z) \mathrm{d} z ∫C​k=1∑∞​uk​(z)dz=k=1∑∞​∫C​uk​(z)dz

魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理–逐项求导数

设级数 ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) ∑n=0∞​fn​(z) 的各项均在区域 D D D内解析，且级数在区域 D D D 内闭一致收敛于 f ( z ) f(z) f(z)，则
(1) f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) f(z)=∑n=0∞​fn​(z) 在区域 D D D 内解析；
(2) 在 D D D 内级数可逐项求导至任意阶，且
f ( p ) ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f n ( p ) ( z ) , p = 1 , 2 , 3 , ⋯   ; f^{(p)}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}^{(p)}(z), \quad p=1,2,3, \cdots ; f(p)(z)=n=0∑∞​fn(p)​(z),p=1,2,3,⋯;
(3) ∑ n = 0 ∞ f n ( p ) ( z ) \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}^{(p)}(z) ∑n=0∞​fn(p)​(z) 在 D D D 内内闭一致收敛于 f ( n ) ( z ) f^{(n)}(z) f(n)(z)。

内闭一致收敛

设级数 ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) ∑n=0∞​fn​(z) 的各项均在区域 D D D 内有定义，若 ∑ n = 0 x f n ( z ) \sum_{n=0}^{x} f_{n}(z) ∑n=0x​fn​(z) 在 D D D 的任一有界闭子区域上一致收敛，则称级数在 D D D 内闭一致收敛。

幂级数与解析函数

最简单的函数项级数是幂级数
∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n = c 0 + c 1 ( z − a ) + c 2 ( z − a ) 2 + ⋯ \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots n=0∑∞​cn​(z−a)n=c0​+c1​(z−a)+c2​(z−a)2+⋯
其中 c 0 , c 1 , c 2 , ⋯ c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots c0​,c1​,c2​,⋯ 和 a a a 是给定的复常数。

阿贝尔(Abel)定理：若 ∑ k = 0 ∞ a k ( z − b ) k \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(z-b)^{k} ∑k=0∞​ak​(z−b)k 在 z = z 0 z=z_{0} z=z0​ 点收敛，则
(1). 它在 ∣ z − b ∣ < ∣ z 0 − b ∣ |z-b|