波动方程的行波解
我们曾经讨论过波动方程
∂
2
u
∂
t
2
−
a
2
∂
2
u
∂
x
2
=
0
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0
∂t2∂2u−a2∂x2∂2u=0的通解，这里，把它改写成
u
(
x
,
t
)
=
f
(
x
−
a
t
)
+
g
(
x
+
a
t
)
u(x, t)=f(x-a t)+g(x+a t)
u(x,t)=f(x−at)+g(x+at)
其中
f
f
f 和
g
g
g 是任意二阶可微函数。这个解式表明，波动方程的通解由两个波组成：
f
(
x
−
a
t
)
f(x-a t)
f(x−at) 代表沿
x
x
x 轴向右传播的波，当
t
=
0
t=0
t=0 时，波形为
f
(
x
)
f(x)
f(x)，而后以恒定速率
a
a
a 向右传播，而保持波形不变；
g
(
x
+
a
t
)
g(x+a t)
g(x+at) 则代表沿
x
x
x 轴向左传播的波，当
t
=
0
t=0
t=0 时，波形为
g
(
x
)
g(x)
g(x)，而后也以同样的恒定速率
a
a
a 向左传播，保持波形不变。单独的
f
(
x
−
a
t
)
f(x-a t)
f(x−at) 和
g
(
x
+
a
t
)
g(x+a t)
g(x+at) 都是波动方程的解。它们独立传播，互不干扰，这正是因为波动方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。
原则上说，函数
f
f
f 和
g
g
g 应该由定解条件确定，但如果把问题简化为一维无界弦上的波的传播问题，那么
f
f
f 和
g
g
g 便完全由初始条件决定。
{
u
u
=
a
2
u
x
x
(
−
∞
<
x
<
+
∞
,
t
>
0
)
u
(
x
,
0
)
=
φ
(
x
)
(
−
∞
<
x
<
+
∞
)
u
t
(
x
,
0
)
=
ψ
(
x
)
(
−
∞
<
x
<
+
∞
)
\left\{\begin{array}{lll} u_{u}=a^{2} u_{x x} & (-\infty
