分离变量法
- 分离变量法核心思路
- 分离变量法求解步骤
- 强迫振动方程
- 非齐次边界条件
分离变量法核心思路
分离变量法的核心思路是，将PDE(偏微分方程)变为多个ODE(常微分方程)，那么我们如何进行呢？
PDE和ODE的一个显著不同是：PDE的自变量一定有两个以上，而ODE的自变量只有一个，那么我们能否将多个自变量拆分使求解PDE变为求解ODE呢？如果满足PDE的自变量
u
(
x
,
t
)
u(x, t)
u(x,t) 是某种特别的形式，例如
u
(
x
,
t
)
=
X
(
x
)
T
(
t
)
,
u(x, t)=X(x) T(t),
u(x,t)=X(x)T(t),
可以多个一元函数相乘得到，那么每个一元函数
X
(
x
)
X(x)
X(x) 和
T
(
t
)
T(t)
T(t) 满足的方程应该都是ODE，只要能求出
X
(
x
)
X(x)
X(x) 和
T
(
t
)
T(t)
T(t)，就可能求出
u
(
x
,
t
)
u(x, t)
u(x,t)。这样我们就把求解PDE问题转变为求解ODE问题，这就是分离变量法的思路。
ODE求解思路：先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，再用定解条件去确定叠加系数。
在力学中，驻波的表达式为
u
(
x
,
t
)
=
2
A
cos
2
π
x
λ
cos
2
π
γ
t
u(x, t)=2 A \cos \frac{2 \pi x}{\lambda} \cos 2 \pi \gamma t
u(x,t)=2Acosλ2πxcos2πγt
这使我们自然想到，对于定解问题可设其特解为
u
(
x
,
t
)
=
X
(
x
)
T
(
t
)
u(x, t)=X(x) T(t)
u(x,t)=X(x)T(t)
其中
X
(
x
)
X(x)
X(x) 和
T
(
t
)
T(t)
T(t) 分别只是变数
x
x
x 和
t
t
t 的函数。为了弄清楚定解问题究竟有什么样的驻波解，应将
u
(
x
,
t
)
=
X
(
x
)
T
(
t
)
u(x, t)=X(x) T(t)
u(x,t)=X(x)T(t) 式分别代人方程和定解条件中。
考虑长为
l
l
l 、两端固定的弦的自由振动, 方程及定解条件为
∂
2
u
∂
t
2
−
a
2
∂
2
u
∂
x
2
=
0
,
0
<
x
<
l
,
t
>
0
,
u
∣
x
=
0
=
0
,
u
∣
x
=
l
=
0
,
t
⩾
0
,
u
∣
t
=
0
=
ϕ
(
x
)
,
∂
u
∂
t
∣
t
=
0
=
ψ
(
x
)
,
0
⩽
x
⩽
l
.
\begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, & 0
