前言

本文将介绍矩阵乘法及其本质。

教材里的矩阵乘法

矩阵 A ∈ R m × n , B ∈ R n × l A\in R^{m\times n}, B \in R^{n\times l} A∈Rm×n,B∈Rn×l，则定义矩阵乘法 A B AB AB为：

A B = C ∈ R m × l C i j = ∑ k = 1 n a i k b k j AB=C\in R^{m\times l} \\ C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} AB=C∈Rm×lCij​=k=1∑n​aik​bkj​
以上定义看着就很复杂，理解起来就是左边矩阵的第 i 行的元素乘以右边矩阵第 j 列的对应元素，也就是所谓的“十字”乘法。

这样的定义，满足做题的需求，但对于理解矩阵乘法的本质，没有任何作用。

矩阵与向量的乘法

考虑矩阵与列向量的乘法：
A x = b 将 A 看 作 列 向 量 的 横 向 排 列 ： A = ( a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , … , a ⃗ n ) ( a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , … , a ⃗ n ) x = x 1 a ⃗ 1 + x 2 a ⃗ 2 + ⋯ + x n a ⃗ n 实 际 上 ， x 1 a ⃗ 1 + x 2 a ⃗ 2 + ⋯ + x n a ⃗ n 就 是 矩 阵 A 的 列 向 量 的 线 性 组 合 Ax=b \\ \quad \\ 将A看作列向量的横向排列： \\ \quad \\ A = (\vec a_1, \vec a_2, \dots, \vec a_n) \\ (\vec a_1, \vec a_2, \dots, \vec a_n)x=x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\dots+ x_n\vec a_n \\ \quad \\ 实际上，x_1\vec a_1+x_2\vec a_2+\dots+ x_n\vec a_n就是矩阵A的列向量的线性组合 Ax=b将A看作列向量的横向排列：A=(a 1​,a 2​,…,a n​)(a 1​,a 2​,…,a n​)x=x1​a 1​+x2​a 2​+⋯+xn​a n​实际上，x1​a 1​+x2​a 2​+⋯+xn​a n​就是矩阵A的列向量的线性组合
由以上过程，我们就可以把矩阵与列向量的乘积 A x = b Ax=b Ax=b，定义为矩阵的列的线性组合，线性组合的系数就是列向量的每个元素。并且结果是矩阵列的线性组合，那么列向量维数的肯定不变。

同理，行向量与矩阵 x T A = b T x^TA=b^T xTA=bT的乘积，就是矩阵行的线性组合。

矩阵之间的乘法

现在来考虑矩阵的乘法：
A X = B 将 X 都 看 作 列 向 量 的 横 向 排 列 X = ( x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , … , x ⃗ n ) A X = A ( x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , … , x ⃗ n ) = ( A x ⃗ 1 , A x ⃗ 2 , … , A x ⃗ n ) 于 是 ， 矩 阵 乘 积 就 变 成 了 矩 阵 与 列 向 量 乘 积 的 横 向 排 列 AX=B \\ \quad \\ 将X都看作列向量的横向排列 \\ \quad \\ X = (\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_n) \\ AX=A(\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_n)=(A\vec x_1, A\vec x_2, \dots, A\vec x_n) \\ \quad \\ 于是，矩阵乘积就变成了矩阵与列向量乘积的横向排列 \\ AX=B将X都看作列向量的横向排列X=(x 1​,x 2​,…,x n​)AX=A(x 1​,x 2​,…,x n​)=(Ax 1​,Ax 2​,…,Ax n​)于是，矩阵乘积就变成了矩阵与列向量乘积的横向排列
因此，我们就可以把矩阵乘法 A X = B AX=B AX=B，定义为矩阵列的不同线性组合的横向排列。既然结果是列的线性组合的横向排列，那么结果的排列个数肯定与 X X X的横向排列个数相同。

扩展1：方阵与向量的乘法与线性相关性

对于矩阵和列向量的乘法：
对 于 线 性 齐 次 方 程 组 ， 有 A x = 0 ∈ R n 对于线性齐次方程组，有\\ \quad \\ Ax=0\in R^n 对于线性齐次方程组，有Ax=0∈Rn
我们知道零向量是矩阵列的线性组合，那么如果矩阵的列向量是线性相关的，就存在非零向量 x x x使方程有解 ，如果矩阵的列是线性无关的，方程的解就只有零向量。

扩展2：方阵间的乘法与秩

对于方阵之间的乘法：
A B = E ∈ R n × n AB=E\in R^{n\times n} AB=E∈Rn×n
我们知道单位矩阵 E E E是 A A A的列的线性组合的排列，也就是说 A A A的列组合可以表示 E E E的每个列，那么必然有 n ≥ r ( A ) ≥ r ( E ) = n n\ge r(A)\ge r(E)=n n≥r(A)≥r(E)=n，则 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n。

延伸到向量空间，就能够得到更加本质的结论。

后记

本篇实际上是把矩阵乘法归纳为向量的线性组合。下篇将记录向量空间。