矩阵分析之 伪逆矩阵，左逆，右逆，广义逆
- 前言
- 伪逆
- 左逆
- 右逆
- 广义逆矩阵
前言
本篇是对于可逆矩阵的一个扩展。
伪逆
对于非方阵，或者奇异矩阵而言，没有严格定义上的逆矩阵。为了便于数值计算，定义这些矩阵具有伪逆。
左逆
对于实矩阵 A ∈ R m × n , m ≥ n A\in R^{m\times n},m\ge n A∈Rm×n,m≥n，如果 A A A是列满秩矩阵，则存在矩阵 A l e f t − 1 A_{left}^{-1} Aleft−1使得 A l e f t − 1 A = E A_{left}^{-1}A=E Aleft−1A=E，称为 A A A的左逆。
证明：
r
(
A
T
A
)
=
r
(
A
)
=
n
(
A
T
A
)
−
1
A
T
A
=
E
i
.
e
.
(
(
A
T
A
)
−
1
A
T
)
A
=
E
r(A^TA)=r(A)=n \\ (A^TA)^{-1}A^TA=E \\ i.e. \quad ((A^TA)^{-1}A^T)A=E
r(ATA)=r(A)=n(ATA)−1ATA=Ei.e.((ATA)−1AT)A=E
(
A
T
A
)
−
1
A
T
(A^TA)^{-1}A^T
(ATA)−1AT就是
A
A
A的一个左逆，不过左逆可能不止一个，例如：
右逆
对于实矩阵 A ∈ R m × n , m ≤ n A\in R^{m\times n},m\le n A∈Rm×n,m≤n，如果 A A A是行满秩矩阵，则存在矩阵 A r i g h t − 1 A_{right}^{-1} Aright−1使得 A A r i g h t − 1 = E AA_{right}^{-1}=E AAright−1=E，称为 A A A的右逆。
证明：
r
(
A
A
T
)
=
r
(
A
)
=
n
A
A
T
(
A
A
T
)
−
1
=
E
i
.
e
.
A
(
A
T
(
A
A
T
)
−
1
)
=
E
r(AA^T)=r(A)=n \\ AA^T(AA^T)^{-1}=E \\ i.e. \quad A(A^T(AA^T)^{-1})=E
r(AAT)=r(A)=nAAT(AAT)−1=Ei.e.A(AT(AAT)−1)=E
A
T
(
A
A
T
)
−
1
A^T(AA^T)^{-1}
AT(AAT)−1就是
A
A
A的一个右逆，右逆可能也不止一个。
广义逆矩阵
对于方阵而言，非奇异矩阵具有严格的逆矩阵；对于满秩非方阵而言，至少有左逆或者右逆。
而不满秩的矩阵则没有左逆、右逆，于是定义奇异矩阵的广义逆矩阵
A
+
A^+
A+满足：
A
A
+
A
=
A
A
+
A
A
+
=
A
+
A
A
+
=
(
A
A
+
)
T
A
+
A
=
(
A
+
A
)
T
AA^+A=A \\ A^+AA^+=A^+ \\ AA^+=(AA^+)^T \\ A^+A=(A^+A)^T
AA+A=AA+AA+=A+AA+=(AA+)TA+A=(A+A)T
矩阵 A ∈ R m × n , m > n , r a n k ( A ) = r < n A\in R^{m\times n},m>n,rank(A)=rn,rank(A)=r
