1. 引言

Halo2中使用了lookup技术，支持lookups in arbitrary sets，且比Plookup更简单。

Halo2中，采用不同语言来描述PLONK概念：

• 1）将类似PLONK argument都想象成table，每一列对应a “wire”，将table中的entries称为“cells”。
• 2）将“selector polynomials”称为“fixed columns”，当a cell in a fixed column is being used to control whether a particular constraint is enable in that row时，则使用a “selector constraint”。
• 3）将仅由Prover掌握的其他polynomials统称为“advice columns”。
• 4）将“gate”称为rule，如：
  A ( X ) ⋅ q A ( X ) + B ( X ) ⋅ q B ( X ) + A ( X ) ⋅ B ( X ) ⋅ q M ( X ) + C ( X ) ⋅ q C ( X ) = 0 A(X) \cdot q_A(X) + B(X) \cdot q_B(X) + A(X) \cdot B(X) \cdot q_M(X) + C(X) \cdot q_C(X) = 0 A(X)⋅qA​(X)+B(X)⋅qB​(X)+A(X)⋅B(X)⋅qM​(X)+C(X)⋅qC​(X)=0
• 5）将 Z ( X ) Z(X) Z(X)多项式（the grand product argument polynomial for the permutation argument）称为"permutation product" column。

lookup argument又可称为subset argument，或multiset argument等。

2. 不具有zero knowledge属性的subset argument

为了便于解释，接下来将介绍已忽略zero knowledge的简化版argument。

将lookups称为a “subset argument” over a table with 2 k 2^k 2k rows（从 0 0 0开始编号），具有columns A A A 和 S S S。
subset argument的目的是：

• enforce A A A中的每个cell 等于 S S S中的某个cell。即意味着，允许 A A A中的多个cell 等于 S S S中的同一cell，而 S S S中的某个cell 可不等于 A A A中的任意cell。

注意：

• S S S可以是fixed，也可以不是。支持look up values in fixed tables 或 variable tables。若为variable tables，其中包含advice columns。
• A A A和 S S S中可以具有重复的元素，即 A A A中的sets size 和（或） S S S中的sets size 可不为 2 k 2^k 2k，可将 S S S以重复值扩展，将 A A A以 S S S中具有的dummy值扩展。
  • 可增加“lookup selector”来控制 A A A column中的哪些元素将参与lookups。若a lookup is not selected，将需要修改下面permutation rule中的 A ( X ) A(X) A(X)，将其中的 A A A替换为 S 0 S_0 S0​。

令 ℓ i \ell_i ℓi​为Lagrange basis polynomial，其evaluates to 1 1 1 at row i i i，and 0 0 0 otherwise。

总体流程为：

• 1）Prover已知 A A A和 S S S的permutation columns： A ′ , S ′ A',S' A′,S′。【参看 PLOOKUP代码解析 中第2节的“multiset 证明”，此处的permutation其实对应的就是分别对 A , S A,S A,S进行sort排序，生成 A ′ , S ′ A',S' A′,S′。】
  相应的permutation argument rule with product column Z Z Z为：
  Z ( ω X ) ⋅ ( A ′ ( X ) + β ) ⋅ ( S ′ ( X ) + γ ) − Z ( X ) ⋅ ( A ( X ) + β ) ⋅ ( S ( X ) + γ ) = 0 Z(\omega X) \cdot (A'(X) + \beta) \cdot (S'(X) + \gamma) - Z(X) \cdot (A(X) + \beta) \cdot (S(X) + \gamma) = 0 Z(ωX)⋅(A′(X)+β)⋅(S′(X)+γ)−Z(X)⋅(A(X)+β)⋅(S(X)+γ)=0
  ℓ 0 ( X ) ⋅ ( 1 − Z ( X ) ) = 0 \ell_0(X) \cdot (1 - Z(X)) = 0 ℓ0​(X)⋅(1−Z(X))=0
  即，假设分子不为零，对于所有的 i ∈ [ 0 , 2 k ) i\in[0, 2^k) i∈[0,2k)有：
  Z i + 1 = Z i ⋅ ( A i + β ) ⋅ ( S i + γ ) ( A i ′ + β ) ⋅ ( S i ′ + γ ) Z_{i+1} = Z_i \cdot \frac{(A_i + \beta) \cdot (S_i + \gamma)}{(A'_i + \beta) \cdot (S'_i + \gamma)} Zi+1​=Zi​⋅(Ai′​+β)⋅(Si′​+γ)(Ai​+β)⋅(Si​+γ)​
  Z 2 k = Z 0 = 1 Z_{2^k} = Z_0 = 1 Z2k​=Z0​=1
  以上，即为a version of the permutation argument，可证明 A ′ , S ′ A',S' A′,S′为permutation of A , S A,S A,S，但是无法确定准确的permutations。 β , γ \beta,\gamma β,γ为独立的challenges，可将2个permutation argument合并为1个，而不用担心会相互干扰。

这些permutations的主要目的是允许Prover对 A ′ , S ′ A',S' A′,S′进行排列：

• 1）将 A ′ A' A′ column中的所有cells 排列为 like-valued cells为vertically adjacent to each other。可借助某种sorting排序算法来实现，最终要求like-valued cells在 A ′ A' A′ column的consecutive rows，且 A ′ A' A′为a permutation of A A A。
• 2）The first row in a sequence of like values in A ′ A' A′ is the row that has the
  corresponding value in S ′ . S'. S′. Apart from this constraint, S ′ S' S′ is any arbitrary
  permutation of S . S. S.

可使用如下rule来enforce 要么 A i ′ = S i ′ A_i'=S_i' Ai′​=Si′​ 要么 A i ′ = A i − 1 ′ A_i'=A_{i-1}' Ai′​=Ai−1′​：
( A ′ ( X ) − S ′ ( X ) ) ⋅ ( A ′ ( X ) − A ′ ( ω − 1 X ) ) = 0 (A'(X) - S'(X)) \cdot (A'(X) - A'(\omega^{-1} X)) = 0 (A′(X)−S′(X))⋅(A′(X)−A′(ω−1X))=0
此外，约束 A 0 ′ = S 0 ′ A_0'=S_0' A0′​=S0′​的rule为：
ℓ 0 ( X ) ⋅ ( A ′ ( X ) − S ′ ( X ) ) = 0 \ell_0(X) \cdot (A'(X) - S'(X)) = 0 ℓ0​(X)⋅(A′(X)−S′(X))=0

即，第一条rule A ′ ( X ) − A ′ ( ω − 1 X ) A'(X)-A'(\omega^{-1}X) A′(X)−A′(ω−1X)无法约束到row 0 0 0，尽管 ω − 1 X \omega^{-1}X ω−1X “wraps”，需借助第二条rule来约束row 0 0 0。
这两条rule一起，可有效约束 A ′ A' A′（以及 A A A）中的每个元素 至少等于 S ′ S' S′（以及 S S S）中的一个元素。

3. 具有zero knowledge属性的subset argument

为了给PLONK-based proof system增加zero knowledge属性，需在每一列的最后 t t t行填充随机值，为了让随机值也满足如上constraints，需对lookup argument进行调整。

假设每列中有用的行数为 u = 2 k − t − 1 u=2^k-t-1 u=2k−t−1个，增加2个selector：

• 1） q b l i n d q_{blind} qblind​ is set to 1 1 1 on the last t t t rows, and 0 0 0 elsewhere；
• 2） q l a s t q_{last} qlast​ is set to 1 1 1 only on row u u u, and 0 0 0 elsewhere（即，设置usable rows和blinding rows之间的过渡row）。

对于usable rows的约束为：
( 1 − ( q l a s t ( X ) + q b l i n d ( X ) ) ) ⋅ ( Z ( ω X ) ⋅ ( A ′ ( X ) + β ) ⋅ ( S ′ ( X ) + γ ) − Z ( X ) ⋅ ( A ( X ) + β ) ⋅ ( S ( X ) + γ ) ) = 0 \big(1 - (q_\mathit{last}(X) + q_\mathit{blind}(X))\big) \cdot \big(Z(\omega X) \cdot (A'(X) + \beta) \cdot (S'(X) + \gamma) - Z(X) \cdot (A(X) + \beta) \cdot (S(X) + \gamma)\big) = 0 (1−(qlast​(X)+qblind​(X)))⋅(Z(ωX)⋅(A′(X)+β)⋅(S′(X)+γ)−Z(X)⋅(A(X)+β)⋅(S(X)+γ))=0
( 1 − ( q l a s t ( X ) + q b l i n d ( X ) ) ) ⋅ ( A ′ ( X ) − S ′ ( X ) ) ⋅ ( A ′ ( X ) − A ′ ( ω − 1 X ) ) = 0 \big(1 - (q_\mathit{last}(X) + q_\mathit{blind}(X))\big) \cdot (A'(X) - S'(X)) \cdot (A'(X) - A'(\omega^{-1} X)) = 0 (1−(qlast​(X)+qblind​(X)))⋅(A′(X)−S′(X))⋅(A′(X)−A′(ω−1X))=0
同理，对于row 0 0 0的约束为：
ℓ 0 ( X ) ⋅ ( A ′ ( X ) − S ′ ( X ) ) = 0 \ell_0(X) \cdot (A'(X) - S'(X)) = 0 ℓ0​(X)⋅(A′(X)−S′(X))=0
ℓ 0 ( X ) ⋅ ( 1 − Z ( X ) ) = 0 \ell_0(X) \cdot (1 - Z(X)) = 0 ℓ0​(X)⋅(1−Z(X))=0

由于此处不再依赖wraparound来保证the product Z ( ω 2 k ) = 1 Z(\omega^{2^k})=1 Z(ω2k)=1，因此，可替换为constrain Z ( ω u ) = 1 Z(\omega^{u})=1 Z(ωu)=1，但是这存在潜在的难点：
若存在某 i ∈ [ 0 , u ) i\in[0,u) i∈[0,u)使得 A i + β A_i+\beta Ai​+β或 S i + γ S_i+\gamma Si​+γ为 0 0 0，则可能就没法满足permutation argument。
这种情况发生的概率相对于 β , γ \beta,\gamma β,γ可忽略，但是这将是实现 perfect zero knowledge 和 perfect completeness 的一个障碍——因为adversary可rule out witnesses that would cause this situation。

为了保证perfect completeness和perfect zero knowledge，可约束 Z ( ω u ) Z(\omega^u) Z(ωu)要么为 0 0 0要么为 1 1 1：
q l a s t ( X ) ⋅ ( Z ( X ) 2 − Z ( X ) ) = 0 q_\mathit{last}(X) \cdot (Z(X)^2 - Z(X)) = 0 qlast​(X)⋅(Z(X)2−Z(X))=0
此时，若存在某个 i i i使得 A i + β = 0 A_i+\beta=0 Ai​+β=0或者 S i + γ = 0 S_i+\gamma=0 Si​+γ=0，则可设置 Z j = 0 Z_j=0 Zj​=0 for i < j ≤ u i