前几天跟同事讨论一个几何知识时遇到了一些疑问，后面经过推导弄明白了，其实这道题不难，但是里面有些基本的原理深究的话一开始还是没想明白，在这里记录下：
点到面的距离一般还说时最短距离，但一个平面一般是有界限的，所以需要先把一个平面用截距式方程显示为：
Ax+By+Cz+D=0
借用这张图来表示：
可以看到要求d（最短距离）需要知道q点到p点（p点时平面的点）的距离（也就是他的模），以及这个角度，
通过三角函数知道：d=
因为pg的模本身我们不确定，所以需要得到一个确定的值来运算
我们可以用来做运算，要得到这块我们法线d这个公式只需要加上就可以了，
所以我们乘除得到
已知=
得：
到了这一步我们法线我们得法向量还未知：
但其实我们通过截距式方程的公式可知n={A,B,C}。
当然我们还时可以推导出来的。
法向量的推导可以用两个方式，一个是取平面的任意两条线与法向量点乘，这个值必然为0。另一个是用任意两条平面的线做叉乘，这时可得垂直于他的法向量。
下面我们推导点乘的方式：
我们已知平面的截距式公式为：Ax+By+Cz+D=0
得到：截距式表明了，当y=0，z=0时，跟x轴相交，代入公式得到,
同理y=0，z=0时，跟y轴相交，带入公式得到y=
同理x=0，y=0时，跟z轴相交，带入公式得到z=
然后我们可以得到平面的特殊的三个点a点：(,0,0)，b点：(0,,0),c点：(0,0,)
那么我们可以得到向量ab:,ac:,bc:
具体得到ab:(,,0),ac:(,0,),bc:(0,,)
我们之前说了平面和法向量的点乘一定为0
点乘的公式为：
带入进入得
*x+*y+0*z = 0
*x+0*y+*z=0
0*x+*y+*z=0
这里公式列出来我们可以求解，我们可以得到两种情况可以让xyz使上面得值为0得，
第一个值时xyz都为0，这个就i是具体的一个点了，而不是面。
那么另外一个值就只有点(A,B,C)了。
由此可得法向量为(A,B,C)
最终带入到上面的公式中得：
（其中(x0,y0,z0)是点Q的值，ABCD是截距式公式的4个常量值）
最后的等式就是我们要求的点到面的最短距离了。
只需要带入具体的值就能算出来了。
这个公式在具体的应用中也会用到。
有时我们能直接套公式不需要推导就能完成很多事情，但只有完整推导出公式才属于自己的知识，才能在以后的复杂应用中灵活引用。
