图的基本概念

提示：以下是本篇文章正文内容

一、图的定义

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成， 通常表示为 G = (V, E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合

在线性表中，元素的个数可以为0，称为空表 在树中，结点的个数可以为0，称为空树 在图中，顶点个数不能为0，但是可以没有边

二、图的基本术语 1.无向图与有向图

若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(Vi,Vj)

如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图

若顶点Vi和Vj之间的边有方向，则称这条边为有向边（有时也称为弧），表示为，这里是尖括号

如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图

2.简单图

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，并且同一条边不重复出现 图1存在顶点到自身顶点的边，图2存在相同的两条边，都属于非简单图 基本上，在数据结构中都是讨论的简单图

3.邻接和依附

在无向图中，对于任意两个顶点vi和vj，若存在边(vi, vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点,同时称边（vi, vj)依附于顶点vi和顶点vj V0的邻接点有：V1,V3 V2的邻接点有：V1,V3,V4

在有向图中，对于任意两个顶点vi和vj，若存在弧，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi，同时称边弧依附于顶点vi和顶点vj V0的邻接点：V1, V2 V2的邻接点：V3 注意：与无向图的区别

在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继 在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子 在图结构中，顶点之间的关系为邻接

4.无向完全图和有向完全图

无向完全图：在无向图中，任意两个顶点之间都存在边

有向完全图: 在有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧 在含有n个顶点的完全无向图中有n*(n-1)/2条边 在含有n个顶点的完全有向图中有n*(n-1)条弧

5.稀疏图与稠密图

稀疏图：边数很少的图 稠密图：边数很多的图 这里的多与少只是相对而言

6.顶点的度

在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD(v)

在有向图中，顶点的度分为入度和出度 顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID(v) 顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD(v)

在具有n个顶点，e条边的无向图G中，各个顶点度之和于边数之和的关系是： 在具有n个顶点，e条边的有向图G中，各个顶点出/入度之和于边数之和的关系是：

7.权和网

权：是指对边赋予的有意义的数量值 网：边上带权的图，也称为网图

8.路径

路径：在无向图G=（V,E）中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2,…,vim=vq)，其中（vij-1，vij)属于E，若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足属于E

路径的长度

非带权图：路径上边的个数 带权图：路径上各边的权之和

V0到V3的路径： V0->V3 长度为1 V0->V1->V2->V3 长度为3 V0->V1->V4->V2->V3 长度为4

9.回路(环）

回路(环）:第一个顶点和最后一个顶点相同的路径 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径 简单回路(简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回来 如图，红色的为一个简单回路

10.子图

若图G = (V,E)，G" = (V’ , E’ )，如果V’ 包含于V，并且E’ 包含于V’，则称图G’ 是图G的子图

11.连通图

连通图: 在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i!=j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的

如果图中任意两个顶点都是连通的, 则称该图是连通图

连通分量: 非连通图的极大连通子图称为连通分量

极大连通子图需满足：含有极大顶点数，依附于这些顶点的所以边 强连通图: 在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj(i!=j)，若从顶点vi到顶点vj 和 从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。

强连通分量:非强连通图的极大强连通子图

12.生成树和生成森林

生成树: n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图

极小连通子图：含有n-1条边

生成森林: 在非连通图中, 由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林