线性代数的本质
文章目录
- 线性代数的本质
- 1、向量究竟是什么
- 2、线性组合、张成的空间、基
- 3、矩阵与线性变换
- 4、矩阵乘法与线性变换复合
- 5、三维空间中的线性变换
- 6、行列式
- 7、逆矩阵、列空间与零空间
- 8、非方阵
- 9、点积和对偶性
- 10、叉积
- 11、基变换
- 13、抽象向量空间
- 克莱姆法则
视频：https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
1、向量究竟是什么
物理解释：向量是空间中的箭头（长度、方向）
计算机解释：向量是有序的数字列表
点point (2, 3)
向量vector [ 2 3 ] \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix} [23]
线性代数围绕两种基本的运算：
向量加法与向量数乘
加法：位移结果
数轴Number line 加法
0
→
2
+
0
→
3
=
0
→
5
=
>
2
+
3
=
5
\begin{aligned} &0\rightarrow 2+0\rightarrow3=0\rightarrow5\\&=>\\ &2 + 3 = 5 \end{aligned}
0→2+0→3=0→5=>2+3=5
向量加法
[
x
1
y
2
]
+
[
x
2
y
2
]
=
[
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
]
\begin{bmatrix} x_1 \\ y_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{bmatrix}
[x1y2]+[x2y2]=[x1+x2y1+y2]
缩放：标量scalar * 向量
2
∗
[
x
y
]
=
[
2
x
2
y
]
2 * \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}
2∗[xy]=[2x2y]
2、线性组合、张成的空间、基
单位向量（基向量）
i
→
\overrightarrow{i}
i
=(1,0),
j
→
\overrightarrow{j}
j
=(0,1)
[
1
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
[1001]
缩放向量并且相加
( 3 , 2 ) (3, 2) (3,2) (i, j) -> 3 i + 2 j 3i + 2j 3i+2j
当使用数字描述向量时，都依赖于我们正在使用的基
线性组合：两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
a
v
→
+
b
w
→
a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{w}
av
+bw
v → \overrightarrow{v} v 与 w → \overrightarrow{w} w 全部线性组合构成的向量合称为“张成的空间”
单个向量看做箭头，多个向量看做点
线性相关 Linearly dependent：多个向量，移除其中一个不减小张成的空间
线性无关 Linearly independent：如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度
严格定义：
向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
3、矩阵与线性变换
变换 函数
矩阵看做是空间的变换
线性的条件：
-
直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲
-
原点必须保持固定
两个点 (a, c)、(b, d)，矩阵的乘法
[ a b c d ] [ x y ] = x [ a c ] + y [ b d ] = [ a x + b y c x + d y ] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} [acbd][xy]=x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]
1、逆时针旋转90度
i=(1, 0), j=(0, 1) => (0, 1), (-1, 0)
A (2, 2) => (-2, 2)
[ 0 − 1 1 0 ] [ 2 2 ] = [ − 2 2 ] \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} [01−10][22]=[−22]
2、剪切基向量对角线剪开
i=(1, 0), j=(0, 1) => (0, 1), (1, 1)
A (2, 2) => (2, 4)
[
0
1
1
1
]
[
2
2
]
=
[
2
4
]
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}
[0111][22]=[24]
4、矩阵乘法与线性变换复合
复合变换
旋转矩阵 + 剪切矩阵 => 复合矩阵
[
1
1
0
1
]
(
[
0
−
1
1
0
]
[
x
y
]
)
=
[
1
−
1
1
0
]
[
x
y
]
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} )= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
[1011]([01−10][xy])=[11−10][xy]
矩阵乘法
[
a
b
c
d
]
[
e
f
g
h
]
=
[
a
e
+
b
g
a
f
+
b
h
c
e
+
d
g
c
f
+
d
h
]
[
a
b
c
d
]
[
e
g
]
=
[
a
c
]
e
+
[
b
d
]
g
=
[
a
e
+
b
g
c
e
+
d
g
]
[
a
b
c
d
]
[
f
h
]
=
[
a
c
]
f
+
[
b
d
]
h
=
[
a
f
+
b
h
c
f
+
d
h
]
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ g \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} e + \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} g= \begin{bmatrix} ae + bg \\ ce + dg \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f \\ h \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} f + \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} h= \begin{bmatrix} af + bh \\ cf + dh \end{bmatrix}
[acbd][egfh]=[ae+bgce+dgaf+bhcf+dh][acbd][eg]=[ac]e+[bd]g=[ae+bgce+dg][acbd][fh]=[ac]f+[bd]h=[af+bhcf+dh]
不满足交换律 $NM \neq MN $
满足结合律 A ( B C ) = ( A B ) C A(BC) = (AB)C A(BC)=(AB)C
5、三维空间中的线性变换
三维空间中坐标x,y,z 对应基向量
( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) (i ,j ,k )
[ a b c d e f g h i ] [ x y z ] = [ a d g ] x + [ b e h ] y + [ c f i ] z = [ a x b y c z d x e y f z g x h y i z ] \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ d\\ g \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix} y + \begin{bmatrix} c \\ f \\ i \end{bmatrix} z= \begin{bmatrix} ax & by & cz \\ dx & ey & fz \\ gx & hy & iz \end{bmatrix} ⎣⎡adgbehcfi⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡adg⎦⎤x+⎣⎡beh⎦⎤y+⎣⎡cfi⎦⎤z=⎣⎡axdxgxbyeyhyczfziz⎦⎤
6、行列式
缩放比例，线性变换改变面积的比例被称为这个变换的行列式
行列式为正
行列式为0 变换减少了空间的维度
行列式为负 变换改变了空间的定向
d
e
t
(
[
1
2
1
−
1
]
)
=
−
3
det( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix} ) = -3
det([112−1])=−3
右手定则
右手食指指向i-hat方向
右手中指指向j-hat方向
大拇指竖起来，指向k-hat方向
计算行列式
d
e
t
(
[
a
b
c
d
]
)
=
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
−
a
c
−
b
d
−
2
b
c
=
a
d
−
b
c
det( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} )= (a+b)(c+d) -ac - bd - 2bc= ad - bc
det([acbd])=(a+b)(c+d)−ac−bd−2bc=ad−bc
三阶行列式 （体积）
d
e
t
(
[
a
b
c
d
e
f
g
h
i
]
)
=
a
∗
d
e
t
(
[
e
f
h
i
]
)
+
b
∗
d
e
t
(
[
d
f
g
i
]
+
c
∗
d
e
t
(
[
e
f
h
i
]
)
det(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}) =a * det(\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix}) + b * det(\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c * det(\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix})
det(⎣⎡adgbehcfi⎦⎤)=a∗det([ehfi])+b∗det([dgfi]+c∗det([ehfi])
性质
d
e
t
(
M
1
M
2
)
=
d
e
t
(
M
1
)
d
e
t
(
M
2
)
det(M_1M_2) = det(M_1)det(M_2)
det(M1M2)=det(M1)det(M2)
7、逆矩阵、列空间与零空间
线性方程组
A
x
→
=
v
→
A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v}
Ax
=v
{
2
x
+
5
y
+
3
z
=
−
3
4
x
+
0
y
+
8
z
=
0
1
x
+
3
y
+
0
z
=
2
=
>
[
2
5
3
4
0
8
1
3
0
]
[
x
y
z
]
=
[
−
3
0
2
]
\begin{cases} 2x + 5y + 3z = -3 \\ 4x + 0y + 8z = 0 \\ 1x + 3y + 0z = 2 \end{cases} => \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 0 & 8 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}
⎩⎪⎨⎪⎧2x+5y+3z=−34x+0y+8z=01x+3y+0z=2=>⎣⎡241503380⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡−302⎦⎤
逆变换：
A
−
1
A^{-1}
A−1 称为 A 的逆
恒等变换，什么都不做
A
−
1
A
A^{-1}A
A−1A
逆矩阵Inverse matrices 存在时，可以用来求解方程组
A
x
→
=
v
→
A
−
1
A
x
→
=
A
−
1
v
→
x
→
=
A
−
1
v
→
\begin{aligned} &A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v}\\ &A^{-1}A\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{v}\\ &\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{v} \end{aligned}
Ax
=v
A−1Ax
=A−1v
x
=A−1v
秩 Rank ：变换后空间的维数
列空间 Column space：所有可能的变换结果集合
变换后基向量张成的空间，就是所有可能的结果
换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间
秩是列空间的维数
满秩Full rank：秩与列数相等
列空间与方程组解的个数有关
矩阵的零空间 null space 变换后落在原点的向量的集合
8、非方阵
A
2
×
3
A_{2\times3}
A2×3 2维到3维变换
[
1
2
1
1
0
2
]
[
2
1
0
]
=
[
4
2
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix}
[112012]⎣⎡210⎦⎤=[42]
A
3
×
2
A_{3\times2}
A3×2 3维到2维变换
[
1
2
1
0
−
1
1
]
[
2
1
]
=
[
4
2
−
1
]
\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 2\\ -1 \end{bmatrix}
⎣⎡11−1201⎦⎤[21]=⎣⎡42−1⎦⎤
9、点积和对偶性
两个向量点积（数量积/投影） v → ⋅ w → \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} v ⋅w
[ 4 1 ] ⋅ [ 2 − 1 ] = 4 × 2 + 1 × ( − 1 ) = 7 \begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =4 \times 2 + 1 \times (-1) = 7 [41]⋅[2−1]=4×2+1×(−1)=7
[ 4 1 ] T [ 2 − 1 ] = [ 4 1 ] [ 2 − 1 ] = 7 \begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =7 [41]T[2−1]=[41][2−1]=7
10、叉积
平行边行的面积
v
→
×
w
→
=
−
w
→
×
v
→
\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = - \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v}
v
×w
=−w
×v
[
3
1
]
×
[
2
−
1
]
=
d
e
t
(
[
3
2
1
−
1
]
)
\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =det( \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix} )
[31]×[2−1]=det([312−1])
3 v → × w → = 3 ( v → × w → ) 3\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = 3(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) 3v ×w =3(v ×w )
右手定则
食指 v → \overrightarrow{v} v
中指 w → \overrightarrow{w} w
拇指
v
→
×
w
→
\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}
v
×w
[
v
1
v
2
v
3
]
×
[
w
1
w
2
w
3
]
=
d
e
t
(
[
i
v
1
w
1
j
v
2
w
2
k
v
3
w
3
]
)
i
(
v
2
w
3
−
v
3
w
2
)
+
j
(
v
3
w
1
−
v
1
w
3
)
+
k
(
v
1
w
2
−
v
2
w
1
)
\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3 \end{bmatrix} =det( \begin{bmatrix} i & v_1 & w_1\\ j & v_2 & w_2\\ k & v_3 & w_3 \end{bmatrix} ) \\ i(v_2w_3 - v_3w_2) + j(v_3w_1 - v_1w_3) + k(v_1w_2 - v_2w_1)
⎣⎡v1v2v3⎦⎤×⎣⎡w1w2w3⎦⎤=det(⎣⎡ijkv1v2v3w1w2w3⎦⎤)i(v2w3−v3w2)+j(v3w1−v1w3)+k(v1w2−v2w1)
11、基变换
A [ x i y i ] = [ x o y o ] [ x i y i ] = A − 1 [ x o y o ] A \begin{bmatrix} x_i\\ y_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_o\\ y_o \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_i\\ y_i \end{bmatrix}= A^{-1} \begin{bmatrix} x_o\\ y_o \end{bmatrix} A[xiyi]=[xoyo][xiyi]=A−1[xoyo]
##12、特征向量与特征值
能够被A拉伸且保持方向不变的向量就是A的特征向量，拉伸的倍数就是特征值
特征值：每个特征向量都有一个所属的值，衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子
A
v
→
=
λ
v
→
A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v}
Av
=λv
特征向量
v
→
\overrightarrow{v}
v
特征值 λ \lambda λ
左边是用矩阵A将向量
v
→
\overrightarrow{v}
v
做了一个转换，右边是将向量拉伸了
λ
\lambda
λ 倍。
A
v
→
=
λ
v
→
A
v
→
−
λ
v
→
=
0
(
A
−
λ
I
)
v
→
=
0
d
e
t
(
A
−
λ
I
)
=
0
A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} \\ A\overrightarrow{v} - \lambda \overrightarrow{v} = 0 \\ (A - \lambda I)\overrightarrow{v} = 0 \\ det(A - \lambda I) = 0
Av
=λv
Av
−λv
=0(A−λI)v
=0det(A−λI)=0
对角矩阵
一组基向量（同样是特征向量）构成的集合被称为一组“特征基”
示例：求矩阵特征值,特征向量
A
=
[
−
1
1
0
−
4
3
0
1
0
2
]
求
解
：
∣
A
−
λ
E
∣
=
∣
−
1
−
λ
1
0
−
4
3
−
λ
0
1
0
2
−
λ
∣
=
(
2
−
λ
)
∣
−
1
−
λ
1
−
4
3
−
λ
∣
=
(
2
−
λ
)
{
(
3
−
λ
)
(
−
1
−
λ
)
−
(
−
4
)
}
=
(
2
−
λ
)
(
−
3
−
3
λ
+
λ
+
λ
2
+
4
)
=
(
2
−
λ
)
(
λ
2
−
2
λ
+
1
)
=
(
2
−
λ
)
(
λ
−
1
)
2
特
征
值
λ
=
2
,
1
当
λ
=
2
(
A
−
2
E
)
=
0
[
−
3
1
0
−
4
1
0
1
0
0
]
x
=
0
{
−
3
x
1
+
x
2
=
0
−
4
x
1
+
x
2
=
0
x
1
=
0
{
x
2
=
0
x
1
=
0
P
1
=
[
0
0
1
]
当
λ
=
1
(
A
−
E
)
=
0
[
−
2
1
0
−
4
2
0
1
0
1
]
x
=
0
{
−
2
x
1
+
x
2
=
0
−
4
x
1
+
2
x
2
=
0
x
1
+
x
3
=
0
{
x
2
=
2
x
1
x
3
=
−
x
1
P
2
=
[
−
1
−
2
1
]
\begin{aligned} & A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \\ \\ &求解：\\ &|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -1-\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 -\lambda\\ \end{vmatrix} =(2 -\lambda) \begin{vmatrix} -1-\lambda & 1 \\ -4 & 3-\lambda \\ \end{vmatrix} \\ &=(2 - \lambda)\{(3 - \lambda)(-1 - \lambda) - (-4)\} \\ &=(2 - \lambda)(-3-3 \lambda+\lambda + \lambda^2 + 4)\\ &=(2 - \lambda)(\lambda^2 -2\lambda + 1)\\ &=(2 - \lambda)(\lambda - 1)^2 \\ \\ &特征值 \lambda = 2, 1 \\ \\ & 当 \lambda = 2 \\ & (A - 2 E)= 0 \\ &\begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}x =0 \\ &\begin{cases} -3x_1 + x_2 = 0\\ -4x_1 + x_2 = 0 \\ x_1= 0 &\end{cases} \\ &\begin{cases} x_2 = 0\\ x_1= 0 &\end{cases} \\ &P_1 =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ & 当 \lambda = 1 \\ & (A - E)= 0 \\ &\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}x =0 \\ &\begin{cases} -2x_1 + x_2 = 0\\ -4x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 &\end{cases} \\ &\begin{cases} x_2 = 2x_1\\ x_3 = -x_1 &\end{cases} \\ &P_2 =\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}
A=⎣⎡−1−41130002⎦⎤求解：∣A−λE∣=∣∣∣∣∣∣−1−λ−4113−λ0002−λ∣∣∣∣∣∣=(2−λ)∣∣∣∣−1−λ−413−λ∣∣∣∣=(2−λ){(3−λ)(−1−λ)−(−4)}=(2−λ)(−3−3λ+λ+λ2+4)=(2−λ)(λ2−2λ+1)=(2−λ)(λ−1)2特征值λ=2,1当λ=2(A−2E)=0⎣⎡−3−41110000⎦⎤x=0⎩⎪⎨⎪⎧−3x1+x2=0−4x1+x2=0x1=0{x2=0x1=0P1=⎣⎡001⎦⎤当λ=1(A−E)=0⎣⎡−2−41120001⎦⎤x=0⎩⎪⎨⎪⎧−2x1+x2=0−4x1+2x2=0x1+x3=0{x2=2x1x3=−x1P2=⎣⎡−1−21⎦⎤
13、抽象向量空间
函数 f(x)
$$
f(x) + g(x)\
af(x)
$$
满足以下两条的变换是线性的
1、可加性 Additivity
L
(
v
→
+
w
→
)
=
L
(
v
→
)
+
L
(
w
→
)
L(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = L(\overrightarrow{v}) + L(\overrightarrow{w})
L(v
+w
)=L(v
)+L(w
)
2、成比例 scaling
L
(
c
v
→
)
=
c
L
(
v
→
)
)
L(c\overrightarrow{v}) = cL(\overrightarrow{v}))
L(cv
)=cL(v
))
| 线性代数 | 函数 |
|---|---|
| 线性变换 | 线性算子 |
| 点积 | 内积 |
| 特征向量 | 特征函数 |
向量加法和数乘
u
→
+
(
v
→
+
w
→
)
=
(
u
→
+
v
→
)
+
w
→
v
→
+
w
→
=
w
→
+
v
→
0
+
v
→
=
v
→
v
→
+
(
−
v
→
)
=
0
a
(
b
v
→
)
=
(
a
b
)
v
→
1
v
→
=
v
→
a
(
v
→
+
w
→
)
=
a
v
→
+
a
w
→
(
a
+
b
)
v
→
=
a
v
→
+
b
v
→
\overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v}\\ 0 + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{v}) = 0 \\ \\ a(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{v} \\ 1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \\ a(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = a\overrightarrow{v} + a\overrightarrow{w} \\ (a + b) \overrightarrow{v} = a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{v}
u
+(v
+w
)=(u
+v
)+w
v
+w
=w
+v
0+v
=v
v
+(−v
)=0a(bv
)=(ab)v
1v
=v
a(v
+w
)=av
+aw
(a+b)v
=av
+bv
克莱姆法则
{ 2 x − 1 y = 4 0 x + 1 y = 2 [ 2 − 1 0 1 ] [ x y ] = [ 4 2 ] x = A r e a d e t ( A ) = d e t ( [ 4 − 1 2 1 ] ) d e t ( [ 2 − 1 0 1 ] ) = 4 + 2 2 = 6 2 = 3 y = A r e a d e t ( A ) = d e t ( [ 2 4 0 2 ] ) d e t ( [ 2 − 1 0 1 ] ) = 4 2 = 2 \begin{cases} 2x - 1y = 4 \\ 0x + 1y = 2 \end{cases} \\ \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix} \\ x = \frac{Area}{det(A)} = \frac{ det( \begin{bmatrix} 4 & -1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} ) } { det( \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} ) }=\frac{4+2}{2} =\frac{6}{2} =3 \\ y = \frac{Area}{det(A)} = \frac{ det( \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 0 & 2 \end{bmatrix} ) } { det( \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} ) }=\frac{4}{2} =2 {2x−1y=40x+1y=2[20−11][xy]=[42]x=det(A)Area=det([20−11])det([42−11])=24+2=26=3y=det(A)Area=det([20−11])det([2042])=24=2
