线性代数的本质学习笔记

线性代数的本质

视频：https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E

1、向量究竟是什么

物理解释：向量是空间中的箭头（长度、方向）

计算机解释：向量是有序的数字列表

点point (2, 3)

向量vector [ 2 3 ] \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix} [23​]

线性代数围绕两种基本的运算：

向量加法与向量数乘

加法：位移结果

数轴Number line 加法 0 → 2 + 0 → 3 = 0 → 5 = > 2 + 3 = 5 \begin{aligned} &0\rightarrow 2+0\rightarrow3=0\rightarrow5\\&=>\\ &2 + 3 = 5 \end{aligned} ​0→2+0→3=0→5=>2+3=5​

向量加法 [ x 1 y 2 ] + [ x 2 y 2 ] = [ x 1 + x 2 y 1 + y 2 ] \begin{bmatrix} x_1 \\ y_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{bmatrix} [x1​y2​​]+[x2​y2​​]=[x1​+x2​y1​+y2​​]

缩放：标量scalar * 向量 2 ∗ [ x y ] = [ 2 x 2 y ] 2 * \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix} 2∗[xy​]=[2x2y​]

2、线性组合、张成的空间、基

单位向量（基向量）

i → \overrightarrow{i} i =(1,0), j → \overrightarrow{j} j ​=(0,1) [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} [10​01​]

缩放向量并且相加

( 3 , 2 ) (3, 2) (3,2) (i, j) -> 3 i + 2 j 3i + 2j 3i+2j

当使用数字描述向量时，都依赖于我们正在使用的基

线性组合：两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合 a v → + b w → a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{w} av +bw

v → \overrightarrow{v} v 与 w → \overrightarrow{w} w 全部线性组合构成的向量合称为“张成的空间”

单个向量看做箭头，多个向量看做点

线性相关 Linearly dependent：多个向量，移除其中一个不减小张成的空间

线性无关 Linearly independent：如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度

严格定义：

向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集

3、矩阵与线性变换

变换 函数

矩阵看做是空间的变换

线性的条件：

1. 直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲

2. 原点必须保持固定

   两个点 (a, c)、(b, d)，矩阵的乘法

[ a b c d ] [ x y ] = x [ a c ] + y [ b d ] = [ a x + b y c x + d y ] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} [ac​bd​][xy​]=x[ac​]+y[bd​]=[ax+bycx+dy​]

1、逆时针旋转90度

i=(1, 0), j=(0, 1) => (0, 1), (-1, 0)

A (2, 2) => (-2, 2)

[ 0 − 1 1 0 ] [ 2 2 ] = [ − 2 2 ] \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} [01​−10​][22​]=[−22​]

2、剪切基向量对角线剪开

i=(1, 0), j=(0, 1) => (0, 1), (1, 1)

A (2, 2) => (2, 4) [ 0 1 1 1 ] [ 2 2 ] = [ 2 4 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} [01​11​][22​]=[24​]

4、矩阵乘法与线性变换复合

复合变换

旋转矩阵 + 剪切矩阵 => 复合矩阵 [ 1 1 0 1 ] ( [ 0 − 1 1 0 ] [ x y ] ) = [ 1 − 1 1 0 ] [ x y ] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} )= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} [10​11​]([01​−10​][xy​])=[11​−10​][xy​]

矩阵乘法 [ a b c d ] [ e f g h ] = [ a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h ] [ a b c d ] [ e g ] = [ a c ] e + [ b d ] g = [ a e + b g c e + d g ] [ a b c d ] [ f h ] = [ a c ] f + [ b d ] h = [ a f + b h c f + d h ] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ g \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} e + \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} g= \begin{bmatrix} ae + bg \\ ce + dg \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f \\ h \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} f + \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} h= \begin{bmatrix} af + bh \\ cf + dh \end{bmatrix} [ac​bd​][eg​fh​]=[ae+bgce+dg​af+bhcf+dh​][ac​bd​][eg​]=[ac​]e+[bd​]g=[ae+bgce+dg​][ac​bd​][fh​]=[ac​]f+[bd​]h=[af+bhcf+dh​] 不满足交换律 $NM \neq MN $

满足结合律 A ( B C ) = ( A B ) C A(BC) = (AB)C A(BC)=(AB)C

5、三维空间中的线性变换

三维空间中坐标x,y,z 对应基向量

( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) (i ,j ​,k )

[ a b c d e f g h i ] [ x y z ] = [ a d g ] x + [ b e h ] y + [ c f i ] z = [ a x b y c z d x e y f z g x h y i z ] \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ d\\ g \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix} y + \begin{bmatrix} c \\ f \\ i \end{bmatrix} z= \begin{bmatrix} ax & by & cz \\ dx & ey & fz \\ gx & hy & iz \end{bmatrix} ⎣⎡​adg​beh​cfi​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=⎣⎡​adg​⎦⎤​x+⎣⎡​beh​⎦⎤​y+⎣⎡​cfi​⎦⎤​z=⎣⎡​axdxgx​byeyhy​czfziz​⎦⎤​

6、行列式

缩放比例，线性变换改变面积的比例被称为这个变换的行列式

行列式为正

行列式为0 变换减少了空间的维度

行列式为负 变换改变了空间的定向 d e t ( [ 1 2 1 − 1 ] ) = − 3 det( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix} ) = -3 det([11​2−1​])=−3 右手定则

右手食指指向i-hat方向

右手中指指向j-hat方向

大拇指竖起来，指向k-hat方向

计算行列式 d e t ( [ a b c d ] ) = ( a + b ) ( c + d ) − a c − b d − 2 b c = a d − b c det( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} )= (a+b)(c+d) -ac - bd - 2bc= ad - bc det([ac​bd​])=(a+b)(c+d)−ac−bd−2bc=ad−bc

三阶行列式 （体积） d e t ( [ a b c d e f g h i ] ) = a ∗ d e t ( [ e f h i ] ) + b ∗ d e t ( [ d f g i ] + c ∗ d e t ( [ e f h i ] ) det(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}) =a * det(\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix}) + b * det(\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c * det(\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix}) det(⎣⎡​adg​beh​cfi​⎦⎤​)=a∗det([eh​fi​])+b∗det([dg​fi​]+c∗det([eh​fi​])

性质 d e t ( M 1 M 2 ) = d e t ( M 1 ) d e t ( M 2 ) det(M_1M_2) = det(M_1)det(M_2) det(M1​M2​)=det(M1​)det(M2​)

7、逆矩阵、列空间与零空间

线性方程组 A x → = v → A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v} Ax =v { 2 x + 5 y + 3 z = − 3 4 x + 0 y + 8 z = 0 1 x + 3 y + 0 z = 2 = > [ 2 5 3 4 0 8 1 3 0 ] [ x y z ] = [ − 3 0 2 ] \begin{cases} 2x + 5y + 3z = -3 \\ 4x + 0y + 8z = 0 \\ 1x + 3y + 0z = 2 \end{cases} => \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 0 & 8 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} ⎩⎪⎨⎪⎧​2x+5y+3z=−34x+0y+8z=01x+3y+0z=2​=>⎣⎡​241​503​380​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=⎣⎡​−302​⎦⎤​ 逆变换： A − 1 A^{-1} A−1 称为 A 的逆

恒等变换，什么都不做 A − 1 A A^{-1}A A−1A 逆矩阵Inverse matrices 存在时，可以用来求解方程组 A x → = v → A − 1 A x → = A − 1 v → x → = A − 1 v → \begin{aligned} &A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v}\\ &A^{-1}A\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{v}\\ &\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{v} \end{aligned} ​Ax =v A−1Ax =A−1v x =A−1v ​

秩 Rank ：变换后空间的维数

列空间 Column space：所有可能的变换结果集合

变换后基向量张成的空间，就是所有可能的结果

换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间

秩是列空间的维数

满秩Full rank：秩与列数相等

列空间与方程组解的个数有关

矩阵的零空间 null space 变换后落在原点的向量的集合

8、非方阵

A 2 × 3 A_{2\times3} A2×3​ 2维到3维变换 [ 1 2 1 1 0 2 ] [ 2 1 0 ] = [ 4 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix} [11​20​12​]⎣⎡​210​⎦⎤​=[42​]

A 3 × 2 A_{3\times2} A3×2​ 3维到2维变换 [ 1 2 1 0 − 1 1 ] [ 2 1 ] = [ 4 2 − 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 2\\ -1 \end{bmatrix} ⎣⎡​11−1​201​⎦⎤​[21​]=⎣⎡​42−1​⎦⎤​

9、点积和对偶性

两个向量点积（数量积/投影） v → ⋅ w → \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} v ⋅w

[ 4 1 ] ⋅ [ 2 − 1 ] = 4 × 2 + 1 × ( − 1 ) = 7 \begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =4 \times 2 + 1 \times (-1) = 7 [41​]⋅[2−1​]=4×2+1×(−1)=7

[ 4 1 ] T [ 2 − 1 ] = [ 4 1 ] [ 2 − 1 ] = 7 \begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =7 [41​]T[2−1​]=[4​1​][2−1​]=7

10、叉积

平行边行的面积 v → × w → = − w → × v → \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = - \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v} v ×w =−w ×v [ 3 1 ] × [ 2 − 1 ] = d e t ( [ 3 2 1 − 1 ] ) \begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} =det( \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix} ) [31​]×[2−1​]=det([31​2−1​])

3 v → × w → = 3 ( v → × w → ) 3\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = 3(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) 3v ×w =3(v ×w )

右手定则

食指 v → \overrightarrow{v} v

中指 w → \overrightarrow{w} w

拇指 v → × w → \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} v ×w [ v 1 v 2 v 3 ] × [ w 1 w 2 w 3 ] = d e t ( [ i v 1 w 1 j v 2 w 2 k v 3 w 3 ] ) i ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) + j ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) + k ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3 \end{bmatrix} =det( \begin{bmatrix} i & v_1 & w_1\\ j & v_2 & w_2\\ k & v_3 & w_3 \end{bmatrix} ) \\ i(v_2w_3 - v_3w_2) + j(v_3w_1 - v_1w_3) + k(v_1w_2 - v_2w_1) ⎣⎡​v1​v2​v3​​⎦⎤​×⎣⎡​w1​w2​w3​​⎦⎤​=det(⎣⎡​ijk​v1​v2​v3​​w1​w2​w3​​⎦⎤​)i(v2​w3​−v3​w2​)+j(v3​w1​−v1​w3​)+k(v1​w2​−v2​w1​)

11、基变换

A [ x i y i ] = [ x o y o ] [ x i y i ] = A − 1 [ x o y o ] A \begin{bmatrix} x_i\\ y_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_o\\ y_o \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_i\\ y_i \end{bmatrix}= A^{-1} \begin{bmatrix} x_o\\ y_o \end{bmatrix} A[xi​yi​​]=[xo​yo​​][xi​yi​​]=A−1[xo​yo​​]

##12、特征向量与特征值

能够被A拉伸且保持方向不变的向量就是A的特征向量，拉伸的倍数就是特征值

特征值：每个特征向量都有一个所属的值，衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子 A v → = λ v → A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} Av =λv 特征向量 v → \overrightarrow{v} v

特征值 λ \lambda λ

左边是用矩阵A将向量 v → \overrightarrow{v} v 做了一个转换，右边是将向量拉伸了 λ \lambda λ 倍。 A v → = λ v → A v → − λ v → = 0 ( A − λ I ) v → = 0 d e t ( A − λ I ) = 0 A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} \\ A\overrightarrow{v} - \lambda \overrightarrow{v} = 0 \\ (A - \lambda I)\overrightarrow{v} = 0 \\ det(A - \lambda I) = 0 Av =λv Av −λv =0(A−λI)v =0det(A−λI)=0 对角矩阵

一组基向量（同样是特征向量）构成的集合被称为一组“特征基”

示例：求矩阵特征值,特征向量 A = [ − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ] 求 解 ： ∣ A − λ E ∣ = ∣ − 1 − λ 1 0 − 4 3 − λ 0 1 0 2 − λ ∣ = ( 2 − λ ) ∣ − 1 − λ 1 − 4 3 − λ ∣ = ( 2 − λ ) { ( 3 − λ ) ( − 1 − λ ) − ( − 4 ) } = ( 2 − λ ) ( − 3 − 3 λ + λ + λ 2 + 4 ) = ( 2 − λ ) ( λ 2 − 2 λ + 1 ) = ( 2 − λ ) ( λ − 1 ) 2 特 征 值 λ = 2 , 1 当 λ = 2 ( A − 2 E ) = 0 [ − 3 1 0 − 4 1 0 1 0 0 ] x = 0 { − 3 x 1 + x 2 = 0 − 4 x 1 + x 2 = 0 x 1 = 0 { x 2 = 0 x 1 = 0 P 1 = [ 0 0 1 ] 当 λ = 1 ( A − E ) = 0 [ − 2 1 0 − 4 2 0 1 0 1 ] x = 0 { − 2 x 1 + x 2 = 0 − 4 x 1 + 2 x 2 = 0 x 1 + x 3 = 0 { x 2 = 2 x 1 x 3 = − x 1 P 2 = [ − 1 − 2 1 ] \begin{aligned} & A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \\ \\ &求解：\\ &|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -1-\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 -\lambda\\ \end{vmatrix} =(2 -\lambda) \begin{vmatrix} -1-\lambda & 1 \\ -4 & 3-\lambda \\ \end{vmatrix} \\ &=(2 - \lambda)\{(3 - \lambda)(-1 - \lambda) - (-4)\} \\ &=(2 - \lambda)(-3-3 \lambda+\lambda + \lambda^2 + 4)\\ &=(2 - \lambda)(\lambda^2 -2\lambda + 1)\\ &=(2 - \lambda)(\lambda - 1)^2 \\ \\ &特征值 \lambda = 2, 1 \\ \\ & 当 \lambda = 2 \\ & (A - 2 E)= 0 \\ &\begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}x =0 \\ &\begin{cases} -3x_1 + x_2 = 0\\ -4x_1 + x_2 = 0 \\ x_1= 0 &\end{cases} \\ &\begin{cases} x_2 = 0\\ x_1= 0 &\end{cases} \\ &P_1 =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ & 当 \lambda = 1 \\ & (A - E)= 0 \\ &\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}x =0 \\ &\begin{cases} -2x_1 + x_2 = 0\\ -4x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 &\end{cases} \\ &\begin{cases} x_2 = 2x_1\\ x_3 = -x_1 &\end{cases} \\ &P_2 =\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} ​A=⎣⎡​−1−41​130​002​⎦⎤​求解：∣A−λE∣=∣∣∣∣∣∣​−1−λ−41​13−λ0​002−λ​∣∣∣∣∣∣​=(2−λ)∣∣∣∣​−1−λ−4​13−λ​∣∣∣∣​=(2−λ){(3−λ)(−1−λ)−(−4)}=(2−λ)(−3−3λ+λ+λ2+4)=(2−λ)(λ2−2λ+1)=(2−λ)(λ−1)2特征值λ=2,1当λ=2(A−2E)=0⎣⎡​−3−41​110​000​⎦⎤​x=0⎩⎪⎨⎪⎧​−3x1​+x2​=0−4x1​+x2​=0x1​=0​​{x2​=0x1​=0​​P1​=⎣⎡​001​⎦⎤​当λ=1(A−E)=0⎣⎡​−2−41​120​001​⎦⎤​x=0⎩⎪⎨⎪⎧​−2x1​+x2​=0−4x1​+2x2​=0x1​+x3​=0​​{x2​=2x1​x3​=−x1​​​P2​=⎣⎡​−1−21​⎦⎤​​

13、抽象向量空间

函数 f(x) $$ f(x) + g(x)\

af(x) $$ 满足以下两条的变换是线性的

1、可加性 Additivity L ( v → + w → ) = L ( v → ) + L ( w → ) L(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = L(\overrightarrow{v}) + L(\overrightarrow{w}) L(v +w )=L(v )+L(w )

2、成比例 scaling L ( c v → ) = c L ( v → ) ) L(c\overrightarrow{v}) = cL(\overrightarrow{v})) L(cv )=cL(v ))

线性代数函数线性变换线性算子点积内积特征向量特征函数

向量加法和数乘 u → + ( v → + w → ) = ( u → + v → ) + w → v → + w → = w → + v → 0 + v → = v → v → + ( − v → ) = 0 a ( b v → ) = ( a b ) v → 1 v → = v → a ( v → + w → ) = a v → + a w → ( a + b ) v → = a v → + b v → \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v}\\ 0 + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{v}) = 0 \\ \\ a(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{v} \\ 1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \\ a(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = a\overrightarrow{v} + a\overrightarrow{w} \\ (a + b) \overrightarrow{v} = a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{v} u +(v +w )=(u +v )+w v +w =w +v 0+v =v v +(−v )=0a(bv )=(ab)v 1v =v a(v +w )=av +aw (a+b)v =av +bv

克莱姆法则

{ 2 x − 1 y = 4 0 x + 1 y = 2 [ 2 − 1 0 1 ] [ x y ] = [ 4 2 ] x = A r e a d e t ( A ) = d e t ( [ 4 − 1 2 1 ] ) d e t ( [ 2 − 1 0 1 ] ) = 4 + 2 2 = 6 2 = 3 y = A r e a d e t ( A ) = d e t ( [ 2 4 0 2 ] ) d e t ( [ 2 − 1 0 1 ] ) = 4 2 = 2 \begin{cases} 2x - 1y = 4 \\ 0x + 1y = 2 \end{cases} \\ \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix} \\ x = \frac{Area}{det(A)} = \frac{ det( \begin{bmatrix} 4 & -1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} ) } { det( \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} ) }=\frac{4+2}{2} =\frac{6}{2} =3 \\ y = \frac{Area}{det(A)} = \frac{ det( \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 0 & 2 \end{bmatrix} ) } { det( \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} ) }=\frac{4}{2} =2 {2x−1y=40x+1y=2​[20​−11​][xy​]=[42​]x=det(A)Area​=det([20​−11​])det([42​−11​])​=24+2​=26​=3y=det(A)Area​=det([20​−11​])det([20​42​])​=24​=2