【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )

群的定义

群 的 定义 : 一个 非空 集合 G G G 中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合 G G G 称为 群 ;

• 1. 封闭性 :
  • 1> 符号表示 : ∀ a , b ∈ G , a × b = c ∈ G \forall a,b \in G , a \times b = c \in G ∀a,b∈G,a×b=c∈G
  • 2> 自然语言描述 : 非空集合 G G G 中任意两个元素 a , b a,b a,b 相乘, 其结果 c c c 也是 集合 G G G 中的元素 ;
• 2. 结合律 :
  • 符号表示 : ∀ a , b , c ∈ G , a × ( b × c ) = ( a × b ) × c \forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c ∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c ;
• 3. 有单位元 :
  • 1> 符号表示 : ∃ e ∈ G , ∀ a ∈ G , e × a = a × e = a \exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a ∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a
  • 2> 自然语言描述 : 存在一个 e e e , 乘以 a a a , 或者 与 a a a 相乘 , 其结果都是 a a a , 相当于 1 1 1 ;
• 4. 每个元 a a a 有逆元 a − 1 a^{-1} a−1 :
  • 1> 符号表示 : ∃ e ∈ G , ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G , a − 1 × a = a × a − 1 = e \exist e \in G, \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e ∃e∈G,∀a∈G,∃a−1∈G,a−1×a=a×a−1=e ,
  • 2> 自然语言描述 : e e e 是之前的 单位元 ( 类似于 1 1 1 ) , a a a 与 a a a 的逆 相乘 , 结果是单位元 e e e ;

注意 :
这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;
G × G G \times G G×G 构成代数结构可以表示成 ( G , ⋅ ) ( G , \cdot ) (G,⋅)

群的分类

群 的 分类 :

• 1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;
• 2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;
• 3.群 的 阶 : 群 G G G 含有的元素个数叫群的阶 , 记做 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ ;
• 4.有限群 : ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;
• 5.无限群 : ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 是 无限的 , 叫做 无限群 ;

群的证明方法

群的证明方法 : 给定一个 集合 G G G 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
• 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
• 3.证明结合律 : 集合中 a a a 与 b b b 和 c c c 进行二元运算 , 其结果 与 a a a 和 b b b 与 c c c 进行运算结果相同 ;
• 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 e e e 元素 , a a a 与 e e e 和 e e e 与 a a a 运算 结果都是 a a a ; 相当于乘法中的 1 1 1 或 加法中的 0 0 0 ;
• 5.证明其逆元 : a a a 与 a − 1 a^{-1} a−1 或者 a − 1 a^{-1} a−1 与 a a a 进行运算 , 其结果是 e e e 单位元 ;

满足以上 4 4 4 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

交换群的证明方法

在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;

数集回顾

数集 及 表示方法 :

• 1.整数 : Z Z Z , 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;
• 2.正整数 : Z + , N ∗ , N + Z^+,N^*,N^+ Z+,N∗,N+ , 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;
• 3.负整数 : Z − Z^- Z− , 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;
• 4.非负整数 : N N N , 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;
• 5.有理数 : Q Q Q , 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;
• 6.实数集 : R R R , 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;
• 7.虚数 : I I I , 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;
• 8.复数 : C C C , 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;

有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ;
实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ;
虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;

数集中的常用上标 用法 :

• 1.正数 : + ^+ + 表示该数集中元素全为 正数 ;
• 2.负数 : − ^- − 表示该数集中的元素全为 负数 ;
• 3.剔除 0 0 0 元素 : ∗ ^* ∗ 表示剔除该数集上的元素 0 0 0 ;

R ∗ R^* R∗ 表示剔除 实数集 R R R 中的 元素 0 0 0 ,
R ∗ = R ∖ { 0 } = R − ∪ R + = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty) R∗=R∖{0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)

群的证明

题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;

证明方法 : 给定一个 集合 G G G 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
• 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
• 3.证明结合律 : 集合中 a a a 与 b b b 和 c c c 进行二元运算 , 其结果 与 a a a 和 b b b 与 c c c 进行运算结果相同 ;
• 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 e e e 元素 , a a a 与 e e e 和 e e e 与 a a a 运算 结果都是 a a a ; 相当于乘法中的 1 1 1 或 加法中的 0 0 0 ;
• 5.证明其逆元 : a a a 与 a − 1 a^{-1} a−1 或者 a − 1 a^{-1} a−1 与 a a a 进行运算 , 其结果是 e e e 单位元 ;

满足以上 4 4 4 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

证明 :

① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ;
② 结合律 : 3 3 3 个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ;
③ 证明单位元 : 存在 e = 1 e=1 e=1 , 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ;
④ 证明逆 a − 1 a^{-1} a−1 的存在 : 集合中的任意元素 a a a , 其 a − 1 = 1 a a^{-1} = \frac{1}{a} a−1=a1​ , a − 1 × a = a × a − 1 = e = 1 a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e = 1 a−1×a=a×a−1=e=1 , 其逆元成立 ;

因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;