【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 根据 “ 线性时不变系统 “ 定义证明 )

参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

• " 线性常系数差分方程 "
• " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

线性常系数差分方程 :

y ( n ) − a y ( n − 1 ) = x ( n ) y(n) - ay(n - 1) = x(n) y(n)−ay(n−1)=x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y ( 0 ) = 1 y(0) = 1 y(0)=1

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、根据 " 线性时不变系统 " 定义证明

证明一个系统是 " 线性时不变系统 " ( LTI 系统 ) , 需要证明 系统 满足 " 叠加性 " 和 " 不随着时间的变化而变化特性 " 特点 ;

假设一

假设一个 " 输入序列 x 1 ( n ) x_1(n) x1​(n) " :

x 1 ( n ) = δ ( n ) x_1(n) = \delta (n) x1​(n)=δ(n)

初始条件是 :

y 1 ( 0 ) = 1 y_1(0) = 1 y1​(0)=1

通过 " 递推解法 " 可以得到 : y 1 ( n ) = a n u ( n ) y_1(n) = a^n u(n) y1​(n)=anu(n)

推导过程参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 ) 博客 ;

假设二

证明 " 线性时不变 " , 这里将 " 输入序列 " 移位 , 然后再查看 " 输出序列 " , 验证 " 时不变特性 " ;

假设一个 " 输入序列 x 2 ( n ) x_2(n) x2​(n) " :

x 2 ( n ) = δ ( n − 1 ) x_2(n) = \delta (n - 1) x2​(n)=δ(n−1)

初始条件是 :

y 2 ( 0 ) = 1 y_2(0) = 1 y2​(0)=1

通过 " 递推解法 " 可以得到 : y 2 ( n ) = a n u ( n ) + a n − 1 u ( n − 1 ) y_2(n) = a^n u(n) + a^{n - 1} u(n - 1) y2​(n)=anu(n)+an−1u(n−1)

输入序列 x 2 ( n ) x_2(n) x2​(n) 比 x 1 ( n ) x_1(n) x1​(n) 延迟了 , 但是输出序列 y 1 ( n ) y_1(n) y1​(n) 和 y 2 ( n ) y_2(n) y2​(n) 是不同的 ;

比较 y 1 ( n ) y_1(n) y1​(n) 和 y 2 ( n ) y_2(n) y2​(n) 可知 , 时间改变了 , 发生了位移 , 对应的 " 输出序列 " 也改变了 , " 时不变 " 不成立 , 这是一个时变特性 ;

假设三

证明 " 线性时不变 " , 这里将之前假设的 2 2 2 个 " 输入序列 " 相加 , 然后再查看 " 输出序列 " , 验证 " 线性 " ;

假设一个 " 输入序列 x 3 ( n ) x_3(n) x3​(n) " :

x 3 ( n ) = x 1 ( n ) + x 2 ( n ) = δ ( n ) + δ ( n − 1 ) x_3(n) = x_1(n) + x_2(n) = \delta (n) + \delta (n - 1) x3​(n)=x1​(n)+x2​(n)=δ(n)+δ(n−1)

初始条件是 :

y 3 ( 0 ) = 1 y_3(0) = 1 y3​(0)=1

通过 " 递推解法 " 可以得到 : y 3 ( n ) = a n u ( n ) + a n − 1 u ( n − 1 ) y_3(n) = a^n u(n) + a^{n - 1} u(n - 1) y3​(n)=anu(n)+an−1u(n−1)

比较 y 1 ( n ) + y 2 ( n ) y_1(n) + y_2(n) y1​(n)+y2​(n) 与 y 3 ( n ) y_3(n) y3​(n) , 二者不同 , " 线性 " 不成立 ;

该系统 , 既不是线性系统 , 又不是 时不变系统 ;

该系统是 非线性时变 系统 ;